投資組合優化
最小 VaR 和最小 ES 投資組合是否位於均值變異數有效邊界上？
均值-變異數有效邊界持有最小變異數投資組合，但在上圖中，它顯示最小 VaR（風險價值）和最小 ES（CVaR）投資組合（預期短缺/條件 VaR）位於並共享相同邊界作為最小變異數投資組合。
我認為（並在文章中看到）平均 VaR和平均 ES 有效邊界存在獨特的邊界？哪個是對的？
當收益遵循橢圓分佈（例如高斯分佈）時，最小化 VaR 和 ES 等效於最小化變異數。見 https://people.math.ethz.ch/~embrecht/ftp/pitfalls.pdf。然後，邊界將是相同的。
這是兩個基金分離定理或共同基金分離定理的結果。任何（最優）投資組合選擇都將發生在有效邊界上。在馬科維茨世界中，資產宇宙完全由第一和第二（共）矩來表徵。因此，對於任何績效指標，您總是能夠通過簡單地將您的投資組合移向有效邊界來獲得“在給定風險下獲得更多回報”或“在給定回報下獲得更少風險”。VaR 和 ES 指標（簡單地）是投資組合均值和風險的組合：因此，它們也可以通過“左移/上移”來改進。
然而，可以觀察到的是一個不同的圖表，描繪了平均回報與 VaR，或平均回報與 ES。它們可能看起來不同。