如何找到具有最大夏普比率的投資組合 - 使用拉格朗日乘數
在 Markowitz 的投資組合理論中，我們可以建構具有給定預期回報的最小變異數的投資組合（反之亦然）。跨越預期風險，這追溯了眾所周知的有效邊界。
為了找到所謂的相切投資組合，我們尋求解決：
$$ \max_x \frac{\mu^T x}{\sqrt{x^T Q x}} $$ 在 Tütüncü （第 5.2 節）之後，這可以在變數的變化下重新表述為更簡單的二次優化問題：
$$ \min_{y,\kappa} y^T Q y \qquad \text{where} \quad (\mu-r_f)^T y = 1,; \kappa > 0 $$ 我已經解決了這個問題並獲得了價值[Math Processing Error] $ y $ .然而..[Math Processing Error] $ \kappa $ 定義為[Math Processing Error] $ x $ …所以，雖然我確信這是一個愚蠢的問題，但我們如何實際翻譯[Math Processing Error] $ y $ 向量來恢復真實的投資組合權重[Math Processing Error] $ x $ ??
我能想到的唯一一件事是我沒有為[Math Processing Error] $ \kappa $ . 這是出於與上述相同的原因（它是根據[Math Processing Error] $ x $ ，因此不可用），並且因為此答案中建議的 KKT 條件也忽略了 $ \kappa >0 $ 學期。
訣竅在於用於解決優化問題的約束的轉換。這可以在集合的定義中看到[Math Processing Error] $ \chi^+ $ 在 Tütüncü 等式 5.4 之後的兩行中。因此，例如，通常的預算約束（ $ e^Tx = 1 $ ) 將被 ( $ e^Tx - \kappa = 0 $ ）。添加該約束後，具有最大夏普比率的解為[Math Processing Error] $ x^* = \frac{\hat{x}}{\hat{\kappa}} $ ， 在哪裡[Math Processing Error] $ (\hat{x},\hat{\kappa}) $ 是二次規劃問題的解（見第 62 頁底部）。