如何從均值-變異數投資組合優化的角度推導出這個數學方程？
問題
- 我發現了一個簡化的不等式來決定是否應將新資產 A 添加到我目前的投資組合 B 中。如果滿足以下不等式，則應將新資產 A 添加到我的投資組合中。（來源：Mackenzie Investment 的研究報告Correlation vs. Beta: What is the difference）
$$ \frac{E(R_{a})}{\sigma_{a}} > \frac{E(R_{b})}{\sigma_{b}} \times corr(R_{a}, R_{b}) $$
- 我的一位同事向我建議，上面顯示的不等式似乎是從下面寫的數學等式推導出來的，當條件 $ W_{a}> 0 $ 很滿意。
- $ W_{a} $ : 我的總財富中有多少百分比投資於資產 A
$ E(R_{a}) $ : 資產 A 的預期收益
$ \sigma_{a} $ : 資產 A 收益的標準差
$ r_{f} $ : 無風險收益，例如
我假設的美國政府債券 $ R_{A} $ 是一樣的 $ R_{a} $ ，這意味著資產 A 的回報。
- 有沒有人可以告訴我如何將底部寫的方程簡化為頂部寫的不等式，當條件 $ W_{a}> 0 $ 滿意嗎？
假設分母為正（即。 $ >0 $ ） 然後讓 $ r_f=0 $ . 為便於記號，我們將重寫 $ W_A $ 作為：
$$ \begin{align*} W_A = \frac{\mathbb{E}\left[R_A\right] \sigma_B^2 - \mathbb{E}\left[R_B\right]\sigma_A\sigma_B \mathbb{C}orr(R_A, R_B)}{\mathbb{E}\left[R_A\right] \left(\sigma^2_B - \sigma_A\sigma_B \mathbb{C}orr(R_A, R_B)\right)+\mathbb{E}\left[R_B\right]\left(\sigma^2_A - \sigma_A\sigma_B \mathbb{C}orr(R_A, R_B)\right)} = \frac{\mathbb{E}\left[R_A\right] \sigma_B^2 - \mathbb{E}\left[R_B\right]\sigma_A\sigma_B \mathbb{C}orr(R_A, R_B)}{Z_A + Z_B}>0,\ \end{align*} $$ 現在，在兩邊加上分數的負部分，我們觀察到：
$$ \begin{align*} \frac{\mathbb{E}\left[R_A\right] \sigma_B^2}{Z_A + Z_B}&> \frac{\mathbb{E}\left[R_B\right]\sigma_A\sigma_B \mathbb{C}orr(R_A, R_B)}{Z_A + Z_B}\ &\Updownarrow\ \mathbb{E}\left[R_A\right] \sigma_B^2&> \mathbb{E}\left[R_B\right]\sigma_A\sigma_B \mathbb{C}orr(R_A, R_B)\ &\Updownarrow\ \frac{\mathbb{E}\left[R_A\right] \sigma_B^2}{\sigma_A}&> \mathbb{E}\left[R_B\right]\sigma_B \mathbb{C}orr(R_A, R_B)\ &\Updownarrow\ \frac{\mathbb{E}\left[R_A\right]}{\sigma_A}&> \frac{\mathbb{E}\left[R_B\right] \mathbb{C}orr(R_A, R_B)}{\sigma_B},\ \end{align*} $$ 我們在第二個不等式中使用了分母為正的事實，並且在第三個和第四個不等式中除以 $ \sigma_A $ 和 $ \sigma_B^2 $ 分別。