投資組合優化
是否有可能建構一個沒有均值的有效邊界？
如果我們假設樣本均值的估計量是有偏的，並且如果最優投資組合權重隨估計均值而變化，那麼是否有一種方法（類似於零貝塔投資組合方法 wrt 無風險利率）僅從共變異數矩陣？
Markowitz 有效邊界映射了風險（波動性或變異數）和（預期）收益之間的權衡。因此，如果不以一種或另一種方式訴諸預期回報，就無法建構邊界。
讓我們考慮一下您使用零貝塔方法的想法。ZB 投資組合解決了
$$ \min_{w} \frac{1}{2}w^T\Sigma w \quad \mathrm{s.t.}\quad w^T\mathbf{1}=1,w^T\Sigma m=0 $$
在哪裡 $ m $ 是市場投資組合權重的向量。正是這個向量 $ m $ ，這需要市場在風險和回報之間進行權衡，如 $ m $ 計算為（無證明）
$$ m^*=\frac{\Sigma^{-1}\mu}{\mathbf{1}^T\Sigma^{-1}\mu} $$
在 ZB ansatz 中插入最優投資組合產生條件
$$ w^T\Sigma m=0\rightarrow w^T\Sigma\frac{\Sigma^{-1}\mu}{\mathbf{1}^T\Sigma^{-1}\mu}=\frac{w^T\mu}{\mathbf{1}^T\Sigma^{-1}\mu}\rightarrow w^T\mu=0 $$
即零貝塔權重必須與平均回報正交，再次要求平均回報，至少隱含地通過市場共識投資組合。
但是請注意，任何兩個有效投資組合的知識都足以完整地描繪有效邊界。因此，了解最小變異數投資組合和 Zb 投資組合就足夠了。