投資組合優化
有沒有辦法使用矩陣代數將投資組合添加到資產的共變異數矩陣中？
我想要做的是以下內容：
假設我有兩個資產 1 和 2，並且有一個 2x2 共變異數矩陣。
然後我有兩個投資組合 A 和 B，由資產 1 和 2 的權重組成。
我想做的是創建資產 1 和 2 以及投資組合 A 和 B 的 4x4 共變異數矩陣。
我知道如何計算投資組合與資產的共變異數，如果有使用矩陣代數創建 4x4 矩陣的“捷徑”而不是從部分建構矩陣，我很感興趣。
如果您的兩項資產由隨機變數表示 $ X_1 $ , $ X_2 $ , 具有 2x2 共變異數矩陣 $ \mathbf{Q} $ 和投資組合：
$$ Z_1 = w_{11} X_1 + w_{12} X_2 $$ $$ Z_2 = w_{21} X_1 + w_{22} X_2 $$
然後，
$ Cov(Z_1, X_1) = w_{11}Cov(X_1,X_1) + w_{12} Cov(X_2, X_1) $ ， ETC。
在矩陣代數中：
$$ \mathbf{Z} = \mathbf{W} \mathbf{X} $$
4x4 共變異數矩陣為：
$$ \begin{bmatrix} \mathbf{Q} & \mathbf{QW^T} \ \mathbf{WQ} & \mathbf{WQW^T} \ \end{bmatrix} $$
其中 W 是單位矩陣，您可以驗證這減少了您的直覺。