應用於投資組合的凱利標準與馬科維茨 MVA
我最近看了兩部關於投資組合優化的凱利標準的影片，但是一個似乎沒有正確地推斷出來（正如人們評論的那樣），另一個根本沒有顯示任何扣除。緊接著，我找到了這篇文章。
正如我們所看到的，等式 10 中提出了無約束問題，其解決方案位於等式 12 的下方。但我對求解受限問題（等式 13）很感興趣。因此，我嘗試了這個：
- 首先，我們設置唯一的約束： $ \vec{W} \vec{I} $ , 這樣 $ \vec{W} $ 是權重向量，最後一個滿足 $ \vec{I} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \end{bmatrix}^{T} $ ;
- 這裡沒有賣空，因此 $ 0 \leq w_i \leq 1 $ ;
- 我們設置拉格朗日 $ \mathcal{L} $ 如下：
$$ \begin{equation}\tag{1} \mathcal{L}(\vec{W}, \lambda_1) = r + \vec{W}^{T} (\mathbb{E}[\vec{R}-r \vec{I}]) - \vec{W}^{T} \Sigma \vec{W} + \lambda_1(1-\vec{W}^{T} \vec{I}) \end{equation} $$
在哪裡 $ r $ 是無風險資產收益， $ \vec{R} $ 是風險資產回報的隨機向量， $ \Sigma $ 是共變異數矩陣。
- 現在，像往常一樣，我們通過計算梯度來最大化 $ \mathcal{L} $ 並將其設置為零。因此，我們到達
$$ \begin{equation}\tag{2} \begin{bmatrix} 2 \Sigma & \vec{I} \ \vec{I}^{T} & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \vec{W} \ \lambda_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathbb{E}[\vec{R}]- r \vec{I} \ 1 \end{bmatrix} \end{equation} $$
- 然後我們可以使用 QR 分解和反向替換來解決它：
$$ \begin{equation}\tag{3} QR \vec{x} = \vec{b} \ R \vec{x} = Q^{T} \vec{b} \end{equation} $$
所以，有些事情我仍然不清楚：
- 投資組合回報的期望值之間存在不匹配（ $ R_p $ ）。在第一個影片中，我們可以看到（分鐘 3），等效地，
$$ \begin{equation}\tag{4} \textrm{Kelly Criterion: } \mathbb{E}[R_p] = \mathbb{E}[\log(1+\vec{W} \vec{R})] \end{equation} $$
但是，在文章中，他們使用 $ \mathbb{E}[R_p] = \mathbb{E}[\vec{W} \vec{R}] $ ，正如 Markowitz 模型使用的那樣。對此有什麼想法嗎？此外，在文章中，作者說該模型僅適用於正態分佈的價格。
我敢打賭我們使用 $ \mathbb{E}[R_p] = \mathbb{E}[\vec{W} \vec{R}] $ 對於正態分佈的價格和 $ \mathbb{E}[R_p] = \mathbb{E}[\log(1+\vec{W} \vec{R})] $ 對於對數正態分佈的價格，因為 $ \ln(\textrm{LogNormal}) = \mathcal{N} $ .
- 我已經看到有一條與凱利準則相關的拋物線。一旦解決了（3），我們如何得到每個人都繪製的漂亮拋物線？我看不出怎麼做，因為我們有多個權重。老實說，對我來說，它看起來更像 Markowitz 模型。
- 在 Markowitz 模型中，我們可以將向量參數化 $ \vec{b} $ 就我們想要的期望值而言，即 $ \mu_0 $ , 得到有效邊界。凱利的投資組合優化標準中有類似的東西嗎？如果我們參數化 $ \vec{b} $ 在 (3) 中，我們得到了可能的投資組合權重曲線。那麼凱利和馬科維茨有什麼區別呢？只有期望是如何定義的？
我試圖在網際網路上找到更多資訊，但我真的很難，很少有資源可以解釋模型背後的數學可以澄清這些問題。此外，歡迎任何書籍推薦！
主要一：這個推論正確嗎？任何要更正或添加的內容將不勝感激！
謝謝
正如評論中正確提到的那樣，凱利往往比 MVA 更具侵略性。它的主要弱點是專注於單一賭注/證券而忽略回報的序列相關性，這使得大量回撤成為可能。在我最近的書中給出了均值變異數和凱利的各種特徵的闡述，包括交易成本和約束的影響。
在等式 1 中，第三項應除以 2。正如您提到的，Kelly 最大化對數回報。所以方程（2）中的 2 應該是 1。我認為拋物線是不可能的。就像切線投資組合一樣，只有一個凱利投資組合位於 Markorwitz 的有效前沿。