最大夏普投資組合（無賣空限制）
假設我們有 $ n $ 預期收益向量為的資產 $ r $ 並且是正的，其共變異數矩陣是 $ \Sigma $ . 投資組合權重向量是否存在封閉形式或準封閉形式（如矩陣的特徵向量等）解決方案 $ w $ 最大化夏普比率 $ w^T r/\sqrt{w^T \Sigma w} $ ? （假設賣空沒有限制。）
如果一般來說不可能，那麼對於低維情況是否存在封閉形式的解決方案，例如 $ n=2,3 $ ? 我記得有人教過一個封閉形式的解決方案 $ n=2 $ 在課堂裡。表達式有點複雜，不幸的是沒有附帶證明。
我嘗試區分 wrt $ w $ 但漸變是一團糟。我不認為我們可以從中得到任何有用的東西。
根據評論，連結的消息來源聲稱最大化器的方向是 $ \Sigma^{-1}r $ . 有人可以解釋或提出其他建議嗎？謝謝。
有兩種情況允許賣空：無風險借貸和無風險。正如評論中提到的，你只需要解決一個線性系統。
無風險借貸
無風險借貸利率的存在 $ r_f $ 意味著存在一個單一的風險資產投資組合，它優於所有其他投資組合。你想最大化功能
$$ \theta = \frac{\bar{R}_P - R_f}{\sigma_p} $$
受約束 $ \sum_{i=1}^N X_i = 1 $ .
$ \bar{R}P $ 表示平均投資組合回報 $ N $ 資產 $ i $ 帶重物 $ X_i $ 和 $ \sigma_P $ 是投資組合收益的標準差。從投資組合收益的定義來看， $ R_f = 1 \cdot R_f = \left( \sum{i=1}^N X_i \right) \cdot R_f = \sum_{i=1}^N (X_iR_f) $ ，以及它們的標準差，你得到
$$ \theta = \frac{\sum_{i=1}^N X_i(\bar{R}i - R_f)}{\left[ \sum{i=1}^N (X_i^2 \sigma_i^2) + \sum_{i=1}^N \sum_{\substack{j=1 \ j\neq i}}^N X_iX_j\sigma_{ij} \right]^{\frac{1}{2}}} $$ 在哪裡 $ \sigma{ij} $ 是資產收益的共變異數 $ r_i $ 和 $ r_j $ .
這是一個簡單的最大化問題，您對每個變數求導並將其設置為零。你得到一個方程組：
- $ \frac{d\theta}{dX_1}=0 $
- $ \frac{d\theta}{dX_2}=0 $
- $ \frac{d\theta}{dX_i}=0 $
- …
一般來說： $$ \frac{d\theta}{dX_i}=-(\lambda X_1\sigma_{1i}+\lambda X_2\sigma_{2i}+ … + \lambda X_i\sigma_{i}^2+ …+\lambda X_{N-1}\sigma_{N-1,i}+\lambda X_{N}\sigma_{Ni})+\bar{R}_i - R_f = 0 $$
和
$$ \lambda = \frac{\sum_{i=1}^N X_i(\bar{R}i - R_f)}{ \sum{i=1}^N (X_i^2 \sigma_i^2) + \sum_{i=1}^N \sum_{\substack{j=1 \ j\neq i}}^N X_iX_j\sigma_{ij} } $$
定義新變數後 $ Z_k = \lambda X_k $ ，公式簡化為系統（我們稱之為 A）：
$$ \bar{R}1 - R_f = Z_1\sigma_1^2 + Z_2 \sigma{12}+Z_3 \sigma_{13}+Z_N \sigma_{1N} $$ $$ \bar{R}2 - R_f = Z_1\sigma{12} + Z_2 \sigma_2^2+Z_3 \sigma_{23}+Z_N \sigma_{2N} $$ $$ … $$ $$ \bar{R}N - R_f = Z_1\sigma{1N} + Z_2 \sigma_{2N}+Z_3 \sigma_{3N}+Z_N \sigma_N^2 $$
這 $ Z_N $ 與投資於每種證券的最佳金額成正比。首先，解決上述系統為 $ Z_N $ , 那麼最優權重 $ X_k $ 對於每項資產 $ k $ 是
$$ X_k = \frac{Z_k}{\sum_{i=1}^N Z_i} $$
沒有無風險借貸
如果無風險利率 $ R_f $ 不可用，必須修改上述解決方案。假使，假設 $ R_f $ 存在並用上述方法找到最佳投資組合。然後假設一個不同的 $ R_f $ 並找到與這個略有變化的無風險利率相對應的最佳投資組合。繼續改變假設的速率，直到確定了完整的有效邊界。
再次考慮線性系統 A。然而，我們不必代入特定的值 $ R_f $ . 我們可以簡單地離開 $ R_f $ 作為一般參數並求解 $ Z_k $ 按照 $ R_f $ . 這導致了形式的解決方案
$$ Z_k = C_{0k} + C_{1k}R_f $$
在哪裡 $ C_{0k} $ 和 $ C_{1k} $ 是常數。它們對每種資產都有不同的價值 $ k $ ，但該值不會隨著 $ R_f $ . 一旦 $ Z_k $ 被確定為函式 $ R_f $ ，我們可以改變 $ R_f $ 確定在有效邊界沿線各個點對每種證券的投資金額。
補充說明
Lintner（1965）對賣空有另一種更現實的定義。他正確地假設，當投資者賣空股票時，不會收到現金，而是將其作為抵押品。此外，投資者必須拿出與他或她賣空的股票數量相等的額外現金。總之，這裡的約束變為 $ \sum_{i=1}^N \left| X_i \right| = 1 $ .
參考
Elton/Gruber/Brown/Götzmann (2014)，現代投資組合理論和投資分析，編輯。9，約翰威利父子公司。