投資組合優化
最大夏普比率和均值變異數優化
我想了解為什麼會這樣： $ argmax_w ( \frac{\mu^T w}{\sqrt{w^T\Sigma w}})=\Sigma^{-1}\mu $
我剛剛發現這篇文章： Markowitz Portfolio Theory 中切線（最大夏普比率）投資組合的推導？
在此過程中，您將最優切線投資組合的優化問題與均值變異數投資組合的優化問題交換： $ argmax_w (w^T\mu-\frac{1}{2}w^T\Sigma w ) $
我想了解為什麼這些優化問題會得出相同的結論。
謝謝！
您的第一個 argmax 實際上定義為一個常數乘數： $ argmax\left(\frac{\mu^Tw}{\sqrt{w^T\Sigma w}}\right)=\lambda\Sigma^{-1}\mu $ ， 在哪裡 $ \lambda $ 是一個任意的投資組合規模。一般來說，最大化形式的尺度不變比 $ f(w)/g(w) $ 可以在有條件的情況下完成： $ max(f) $ 受制於 $ g=const $ ，或者，使用拉格朗日乘數 $ \lambda $ , $ max(f-\lambda g) $ . 形式上，最優性條件 $ \nabla(f/g)=0 $ 導致梯度的共線性 $ f $ 和 $ g $ – 與使用拉格朗日乘數的條件最大值相同。任意性 $ \lambda $ 如果投資組合權重受到限制，規模就會消失 $ w $ 和/或從先前狀態重新平衡投資組合時產生的交易成本。這涉及一個更複雜但仍然是凸優化問題，參見本書。