負變異數？

June 21, 2018

使用公式 wCovt(w) 我可以生成一個負的投資組合變異數。負變異數的含義是什麼？我應該假設它為零嗎？負變異數很麻煩，因為如果不求助於虛數，就無法取負數的平方根（估計標準差）。它似乎也與變異數公式不一致，變異數是與均值的平方偏差的平均值，因為平方總是產生正數。
負變異數是我真正問題的冰山一角。我有一個表示（事前）期望的共變異數矩陣。我沒有也不希望使用歷史回報。我有 23 個資產類別。我一直在玩一些投資組合優化（不是平均變異數）。我為最佳投資組合提出了一組權重 (w)。我的基準 (b) 也有一組權重。我正在計算跟踪誤差。跟踪誤差的平方應為 (wb) * cov * t(wb)。這就是消極的。
此外，我的權重與我的基準有很大不同，以至於檢查和直覺告訴我零是錯誤的答案。為了進一步證明這一點，我為資產類別生成了 1000 個隨機回報（使用我的回報假設和共變異數矩陣），並為 w 和 b 計算了 1000 個回報。然後我計算了差異，然後我取了變異數。因為我有一台電腦，所以我重複了 1000 次。最低跟踪誤差（差異變異數的平方根）為 2.7%。所以我相信變異數應該是正的。
FWIW，我有一個 23x23 的共變異數矩陣。其中大部分來自公共資源（Research Affiliates）。我加上市政債券。我對共變異數矩陣的其他用途非常滿意——例如 w 和 b 的投資組合變異數似乎很大。
任何對我可能在計算上或通過解釋上做錯的事情的見解將不勝感激。我所有的工作都在 R 中，我可以分享一些數據和程式碼。

正如其他使用者在這裡指出的那樣，您設計的共變異數矩陣顯然不是正定的，因此您會得到這種奇怪的行為。
請注意，這不僅僅是一個數學問題，而是一個經濟問題。
作為一個玩具範例，請看：如果 A 和 B 強烈負相關（例如 -1），那麼它們不能都與第三個 C 負相關（再次 -1）。您可以設計（=寫下）這樣的矩陣，但這是您在正確的數學或現實生活中無法遇到的。
你可以做什麼：
為每個資產選擇非負變異數 $ V = diag(v_1,v_2,\ldots, v_n) $
為相關性選擇一個正定矩陣 $ C $
計算 $ Cov = \sqrt{V} C \sqrt{V} $ 其中平方根是按分量的。
第三步的計算在stack.overflow上討論。corpcor包提供了將共變異數縮小到選定目標的方法，並提供了正定性檢查。
該函式make.positive.definite 可用於找到與某個給定矩陣最接近（在選擇的意義上）的正定矩陣。