風險投資組合的最佳權重
“假設投資者有一個二次效用函式。也就是說，
$$ U \left[ W \right] = W - \frac{1}{250}W^2. $$
假設投資者正在最大化其預期效用，並且正在考慮將 100 美元投資於年收益率為 3% 的無風險資產或年收益率為 10% 的機率為 0.5 和 -2% 的機率為 0.5 的風險資產
風險投資組合的最佳權重是多少？”
設 y 為投資於風險投資組合的百分比。 $$ \begin{eqnarray*} E(W) &=& p_1W_1 + p_2W_2\ &=&0.5(y\cdot1.1\cdot100 + (1-y)\cdot1.03\cdot100) + 0.5(y\cdot0.98\cdot100 + (1-y)\cdot1.03\cdot100)\ &=&103+y \end{eqnarray*} $$
$$ \begin{eqnarray*} E(W^2) &=& p_1W_1^2 + p_2W_2^2\ &=&0.5(y\cdot1.1\cdot100 + (1-y)\cdot1.03\cdot100)^2 + 0.5(y\cdot0.98\cdot100 + (1-y)\cdot1.03\cdot100)^2\ &=&0.5[(103+7y)^2 + (103-5y)^2] \end{eqnarray*} $$
$$ \begin{eqnarray*} E(U[W]) &=& E(W) - \frac{1}{250}\ E(W^2)\ &=&103+y-\frac{1}{500}\ [(103+7y)^2 + (103-5y)^2]\ \frac{dEU}{dy}\ &=& 0\ .\ .\ .\ y &=& \frac{22}{37}
\end{eqnarray*} $$