投資組合優化問題
我有以下表達式，我希望找到 $ \vec{w} $ 最小化它：
$$ L = \frac{\vec{w}^TA\vec{w}}{\vec{w}^TB\vec{w}} - \lambda(\vec{w}^T\vec{1} - 1) $$
偏導數關於 $ \vec{w} $ 和 $ \lambda $ 如下面所述
$$ \begin{align*} \frac{\partial L}{\partial \vec{w}} &= \frac{2(\vec{w}^TB\vec{w})A\vec{w}-2(\vec{w}^TA\vec{w})B\vec{w}}{(\vec{w}^TB\vec{w})^2} - \lambda \ \frac{\partial L}{\partial \lambda} &= -\vec{w}^T\vec{1} + 1 \end{align*} $$
但我很難簡化這些以獲得最小化的價值 $ \vec{w} $ . 有什麼見解嗎？
因為 $ \vec w^TB\vec w $ 在分母中，您必須以數值方式解決此問題，或者作為帶有約束的直接最小化，或者通過在取偏導數後找到兩個拉格朗日方程的根。
- 線性等式約束的直接最小化
$$ min_\vec{w} \left(\frac{\vec{w}^TA\vec{w}}{\vec{w}^TB\vec{w}}\right) \quad s.t. \quad\vec{w}^T \vec{1}-1 = 0. $$ 在 Python 中，這可以通過使用scipy.optimize.minimize並指定等式約束參數來完成。
- 或者，求解拉格朗日方程組
$$ \frac{\partial L}{\partial \vec{w}} = 0 \ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0, $$ 通過找到向量 $ \vec{w} $ 和價值 $ \lambda $ 這解決了兩個方程（求根）。在 Python 中，這可以使用scipy.optimize.root 來完成。
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