具有賣空的權重約束的投資組合優化總和
對於允許賣空的均值變異數投資組合優化，我已經看到了兩種指定投資組合約束的方法。
在我見過的大多數資源中，例如https://www.coursera.org/learn/financial-engineering-2/lecture/qwIYs/overview-of-mean-variance（第 1 週的第一個影片），它被聲明為：
$$ \sum_{i=1}^N x_i = 1 $$
然而，在 Tucker Balch 的課程https://classroom.udacity.com/courses/ud501/lessons/4432279076/concepts/44338591400923（第 02-04 課，第 2 課）中，它被表述為：
$$ \sum_{i=1}^N |x_i| = 1 $$
哪一個是正確的？其背後的原因是什麼？
在投資組合理論的早期，人們對空頭頭寸有不同的看法。一些作者將空頭頭寸建模為負數，並要求所有權重加起來為 1（第一個方程），其他人（包括 Markowitz 本人）認為這是不現實的（他認為如果你有 1 美元，你不能同時購買價值 1 美元的股票和還賣空價值 1 美元的股票）並且需要第二個條件（如果您擁有 1 美元的股權，您可以購買半美元的股票並賣空半美元的其他股票）。
隨著時間的推移，我相信第一種觀點佔據了主導地位，它不僅在數學上更簡單，而且對對沖基金的實際運作方式也相當現實（至少在現代美國法規下）。例如，R. C Merton 認為這是正確的（他應該知道，因為他最終創辦了一家對沖基金）。我相信馬科維茨從未被說服。第二種觀點可能更能代表散戶投資者對賣空的看法（如果他們確實做空的話）。
您可以自由選擇您認為更適合您的情況的任何假設（取決於當地法規和您的經紀人的政策），甚至可以通過要求所有 $ x_i \ge 0 $ （在這種情況下，取絕對值與否不再重要）。如果您沒有意見，只是想要我的建議，我會說：使用第一種方法。FWIW（我不想為特定公司做廣告）我在國際米蘭的賬戶 $ ** $ tive Brokers 允許我根據第一個等式做空頭寸，我當然不是大機構投資者。我認為教授第二種方法的唯一原因是，如果您想與 Markowitz 的原始論文保持一致。
（注意：第一個假設有時被稱為“賣空，充分利用收益購買其他股票”或類似的詞。）