投資組合風險回報
我有一個關於風險回報投資組合的問題。
如何通過改變每個投資組合的三種資產的權重來計算多達 200 個機會集 $ w_1 $ , $ w_2 $ 和 $ w_3 $ 給定：
每項資產的平均回報： $ \mu = [0.4, 0.17, 0.19]^T $ 作為恆定的預期回報
每個資產的標準差： $ \sigma = [0.2, 0.1, 0.1]^T $
相關矩陣： $$ \rho = \begin{bmatrix} 1 & -0.2 & -0.4 \ -0.2 & 1 & -0.5 \ -0.4 & -0.5 & 1 \end{bmatrix} $$
提前謝謝了。
對於給定的回報，馬科維茨有效前沿可以通過投資組合估值變異數最小的投資組合來表徵。那就是你有目標函式：
$$ \min_w f(w) = w^T \Sigma w, \quad s.t. \quad \delta^T w = 1, \quad \mu^T w = r, \quad where \quad \Sigma = \sigma^T \rho \sigma, $$
（如果你禁止賣空，還有一個進一步的限制： $ w \geq 0 $ )
使用拉格朗日乘數，上述公式可解析求解 $ r $ （只有等式約束）。
$$ L(w) = f(w) - \lambda_1 (\delta^T w -1) - \lambda_2 (\mu^T w - r) $$ $$ \nabla_w L = \nabla_w f -\lambda_1 \delta - \lambda_2 \mu = 2 \Sigma w -\lambda_1 \delta - \lambda_2 \mu $$ $$ \nabla_{\lambda}L = \begin{bmatrix} -\delta^T w+1 \ - \mu^Tw+r \end{bmatrix} $$
將所有導數設置為零（Karush-Kuhn-Tucker 條件）給出線性系統；
$$ \begin{bmatrix} 2\Sigma & -\delta & -\mu \ -\delta^T & 0 & 0 \ \mu^T & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} w \ \lambda_1 \ \lambda_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \ -1 \ -r \end{bmatrix} $$
因此你可以改變 $ r $ ，目標收益和收益權重為解決上述線性系統的每個有效投資組合。
如果您禁止賣空，由於不等式約束，您需要使用優化求解器。