投資組合優化
複製具有給定收益的投資組合
尋找令人信服的總體策略
$$ not trial and error $$解決這類問題： 任何幫助都會非常有幫助！
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在基礎資產上複製投資組合 $ S $ 有回報 $ T $ 等於：
$$ \begin{align} V(T) & = 2S(T) + 30 & & \text{if } 0 \leq S(T) < 10 \[6pt] V(T) & = -3S(T) + 80 & & \text{if } 10 \leq S(T) < 30 \[6pt] V(T) &= S(T) − 40 & & \text{if } 30 \leq S(T) \end{align} $$
考慮我們對分解連續和分段線性歐式支付函式感興趣的情況 $ V \left( S_T \right) $ 超過 $ n $ 間隔與 $ n + 1 $ 節點點 $ S_i $ 為了 $ i = 0, 1, \ldots, n $ . 不失一般性，我們假設 $ S_0 = 0 $ 和寫 $ V_i $ 作為簡寫 $ V \left( S_i \right) $ . 我們假設支付函式的斜率為 $ S > S_n $ 是 $ x_{n + 1} $ .
採取以下步驟以複製此收益：
- 購買名義價值為的零息債券 $ V_0 $ .
- 對於每個 $ i \in 1, \ldots n $ ， 買 $ x_i = \left( V_i - V_{i - 1} \right) / \left( S_i - S_{i - 1} \right) $ 行使價為的歐式看漲期權 $ S_{i - 1} $ 並出售相同數量的罷工 $ S_i $ .
- 買 $ x_{n + 1} $ 行使價為的歐式看漲期權 $ S_n $ .
所有合約均按時到期 $ T $ .
將此應用於您的範例，我們有 $ n = 2 $ 並獲得以下投資組合：
- 購買名義價值為 30 美元的零息債券。
- 買入 2 個行使價為 0 美元的看漲期權，賣出 2 個行使價為 10 美元的看漲期權。
- 賣出 3 個行使價為 10 美元的看漲期權，買入 3 個行使價為 30 美元的看漲期權。
- 買入一份行使價為 30 美元的看漲期權。
因此，我們的淨頭寸是：
- 做多名義價值為 30 美元的零息債券。
- 多頭 2 個零行權看漲期權。
- 行使價為 10 美元的空頭 5 份看漲期權。
- 執行價為 30 美元的多頭 4 份看漲期權。
請注意，這種分解並不是唯一的，因為您始終可以將看跌/看漲平價應用於任何頭寸。