SDF 作為切線組合的仿射變換
我正在研究這篇論文。在理論設置的製定中，他們指出：
我們的目標是解釋收益橫截面的差異 $ R $ 對於個股。讓 $ R_{t+1, i} $ 表示資產的回報 $ i $ 有時 $ t+1 . $ 基本無套利假設等價於隨機貼現因子（SDF）的存在 $ M_{t+1} $ 這樣對於任何超過無風險利率的回報 $ R_{t+1, i}^{e}=R_{t+1, i}-R_{t+1}^{f}, $ 它擁有$$ \mathbb{E}{t}\left[M{t+1} R_{t+1, i}^{e}\right]=0 \quad \Leftrightarrow \quad \mathbb{E}{t}\left[R{t+1, i}^{e}\right]=\underbrace{\left(-\frac{\operatorname{Cov}{t}\left(R{t+1, i}^{e}, M_{t+1}\right)}{\operatorname{Var}{t}\left(M{t+1}\right)}\right)}{\beta{t, i}} \cdot \underbrace{\frac{\operatorname{Var}{t}\left(M{t+1}\right)}{\mathbb{E}{t}\left[M{t+1}\right]}}{\lambda{t}} $$在哪裡 $ \beta_{t, i} $ 是暴露於系統性風險和 $ \lambda_{t} $ 是風險的代價。 $ E_{t}[.] $ 表示以當時資訊為條件的期望 $ t . $ SDF 是切線投資組合的仿射變換。不失一般性，我們考慮 SDF 公式$$ M_{t+1}=1-\sum_{i=1}^{N} \omega_{t,i} R_{t+1, i}^{e}=1-\omega_{t}^{\top} R_{t+1}^{e} $$
作為消息來源，他們提到了 Chochrane 的書（資產定價）和 Back 的書（資產定價和投資組合選擇理論），但我找不到 $ a=1, b=-1 $ .
問：如何考慮 SDF $ M_{t+1} = a + b \omega_{t}^{\top} R_{t+1}^{e} $ 和 $ \omega_{t}^{\top} R_{t+1}^{e} $ 相切投資組合， $ a=1 $ 和 $ b=-1 $ 可以派生？
好問題。正如我在 Erwin Hansen 論文“線性 SDF 模型的投資組合性能：樣本外評估”中發現的那樣：
$$ \begin{equation} \mathbb{E}[\hat{m}r^{e}] = 0 \end{equation} $$ 現在，對於任何常數 c，SDF $ \hat{m} $ = $ c\bar{m} $ 也滿足即 $ \mathbb{E}[\bar{m}r^{e}] = 0 $ 從這個例子中，很明顯存在無限數量的 SDF 同時滿足條件。這個問題是通過對常數 a 的值進行正規化來解決的 $ M = a-b\omega r $ . 正如 Cochrane (2009) 所指出的，這種正規化的選擇僅取決於方便性。第一個也是最簡單的正規化包括強制 a = 1。在這種情況下，我們說 SDF 是未居中的。第二個正規化是 $ a = 1+b’\mathbb{E}[r] $ ，對應於中心 SDF 情況。‡ 在對 a 進行正規化後，參數集 b 由 GMM 使用定價誤差作為選定時刻條件的成分來估計，我們將在下一節中描述。