賭還是不賭！（可能解決 ODE 系統？）
假設我們有一些錢。在每個時間點 $ 0\le t \le T $ ，我們可以採取任一行動 1，即保留我們的資金，直到 $ T $ 比如說在一家銀行，預期收益為 $ f(t) $ 或採取行動 2，即購買彩票，預期收益為 $ g(t) $ 然後系統消失！
問題是我們沒有封閉形式的表達式 $ f(t) $ 但我們知道 $$ \frac{df(t)}{dt}-f(t)+\alpha=0. $$ 同樣，我們不知道什麼 $ g(t) $ 但我們知道 $$ g(t)=h(t)-\gamma, $$ 在哪裡 $$ \frac{dh(t)}{dt}-h(t)+\beta=0. $$
$ \alpha, \beta, \gamma>0 $ 我們也知道，無論我們採取什麼行動，系統都會在 $ t=T $ 所以 $ f(T)=h(T)=0 $ ，所以我們想採取行動來最大化我們的回報。
如果我們知道有一個時間間隔，甚至是一個時間點，比如說 $ \tau $ 哪裡最好買彩票，我們如何計算對應於那個時間間隔的回報？
我們可以解決這兩個 ODE，我們看到兩者 $ f(t) $ 和 $ h(t) $ 因此 $ g(t) $ 正在減少和凹入 $ t $ , 如果我們使用 $ f(T)=h(T)=0 $ 作為邊界條件。這就是我所能做的！
誰能給我一個提示？
我可能完全關閉，但讓我試一試。
我們假設某種風險中性的代理人只決定預期回報。正如您在評論中指定的那樣，函式 $ f(t) $ 表示短期利率過程，即在區間內支付的利息 $ (t,t+dt) $ 是 $ f(t)dt $ . 在任何時間點 $ t $ ，如果我們從無風險利率投資轉向購買彩票，從那時起預期（總）回報等於 $ g(t) $ . 兩個都 $ f(T) $ 和 $ g(T) $ 為零。
決策者選擇一些最佳時間 $ t^* $ 優化他們預期的未來總財富，我們稱之為 $ W_T $ 不是雜亂的符號：
$$ W_T=\left( \int_0^{t^}f(s)ds \right)g(t^) $$ 即他們以無風險短期利率賺取 $ f $ 直到決定時間，然後花光他們所有的錢，投資彩票並期待 $ g(t^*) $ 無論他們投資什麼。
解決_ $ f $ ，我們得到 $ f(t)=\alpha+c_1e^{t} $ , 和條件 $ f(T)=0 $ 固定常數 $ c_1=-\alpha e^{-T} $ 以便
$$ f(t)=\alpha\left(1-e^{-(T-t)}\right) $$
同樣地，
$$ h(t)=\beta\left(1-e^{-(T-t)}\right) $$
或者
$$ g(t)=h(t)-\gamma = \beta\left(1-e^{-(T-t)}\right) -\gamma $$
有效， $ W_T $ 現在是一個函式 $ t^* $ . 給定參數，我們可以追踪 $ t^* $ 之間 $ 0 $ 和 $ T $ 並選擇最大化的值 $ W_T $ ，或者我們計算一階導數 $ W_T $ 寫 $ t^* $ ，將其設置為零並求解 $ t^* $ （當然，檢查它是否是最大值），從而找到最佳水平。
那有意義嗎？