效用理論和投資組合優化 - 引理的證明
我對 D. Luenberger, Investment Science, International Edition 的第 9 章中的以下問題有疑問：
（投資組合優化）
假設投資者俱有效用函式 $ U $ . 有 $ n $ 具有回報率的風險資產 $ r_i $ , $ i=1,2,…,n $ ，以及一種具有收益率的無風險資產 $ r_f $ . 投資者擁有初始財富 $ W_o $ . 假設該投資者的最優投資組合具有（隨機）收益 $ x^* $ . 顯示$$ E[U^{’}(x^*)(r_i-r_f)]=0 $$為了 $ i=1,2,…,n. $
我發現這是一個非常困難的問題，因為我不知道如何使用以下公式分析地證明這一點 $ E[XY] $ 或者 $ Cov[X,Y] $ 以某種直接的方式。
沒有提到風險資產是否相關，這也提高了我對這個問題的不確定性。
一種想法是最佳投資組合應該是這樣的 $ U(x^) $ 最大化，但這並不意味著 $ U^{’}(x^)=0 $ 即使從那時起 $ U $ 是單調遞增的。
我試圖在 Excel 中查看一些簡單的範例，看看這個身份在實踐中是否成立，但我發現即使我使用一些簡單的效用函式（如線性效用函式）也很難證明這一點。
事實上，如果我假設 $ U(x)=x $ 作為一個簡單的開始步驟，然後 $ U^{’}(x)=1 $ 對全部 $ x $ ，然後等式將變為 $ E[r_i-r_f]=0 $ ，這不一定是真的。
我試圖從幾個不同的角度考慮它，但我無法處理它。有誰知道如何證明這個引理是真是假？
提前致謝。
這是眾所周知的歐拉最優方程。這裡的技巧是正確設置預算約束。你的初始財富 $ W_0 $ 無關緊要。終端（風險）財富是，
$$ W = W_0( 1 + \pi_1 (R_1 - r_f) + \ldots + \pi_n (R_n - r_f) ) $$ （檢查是否可以這樣寫），其中 $ \pi_i \in \mathbf{R} $ 是分配給資產的權重 $ i $ . 然後，您的優化問題就是最大化預期效用，
$$ \sup_{ \pi_1, \ldots, \pi_n } E[ U(W) ] $$. 取上面的一階條件，假設你可以互換整合和分化的順序（有技術條件可以確保這將成立，如果你想查看詳細資訊，https://en.wikipedia.org/wiki/ Differentiation_under_the_integral_sign。但在金融領域，這些條件實際上總是成立的）。一旦你這樣做了，你會看到你想要的結果。
*注意：*您的風險中性範例（即 $ U(x) = x $ ) 正是優化問題無聲時的情況。在這種情況下，當投資者不關心風險時，他會簡單地將無限的財富投入到超額收益最高的資產中 $ E[R_i - r_f] $ 並在其他所有內容中做空。這就是為什麼在這種特殊情況下，您的等式將不成立。你需要那個 $ U $ 是代表風險厭惡代理的效用函式。