為什麼沒有給定 100% 投資組合權重的具有最小變異數的資產？
最大預期回報投資組合是對所有考慮中的資產中預期回報最高的資產分配 100% 權重的投資組合。
那麼，候選池中變異數最小的資產難道不應該在最小變異數投資組合中使用均值變異數模型分配 100% 的權重嗎？為什麼不？
它是否與時刻的不同性質有關，或者與投資組合變異數是共變異數的函式，而投資組合收益/均值只是其自身的函式這一事實有關？
（對於在最大偏度或最小峰度投資組合中具有最大偏度或最小峰度的資產可以說什麼？它們的權重不是 100%）
多元化是關鍵。
明確的答案是多樣化。資產的加權組合通常會顯示出比整個資產範圍內變異數最小的資產更低的回報變異數。
設置
不失一般性，讓我們假設存在兩種資產 $ a $ 和 $ b $ 有變異數 $ \sigma_a^2=\alpha^2<\sigma_b^2=1 $ . 這些資產與參數相關 $ \rho \in [0,1] $ .
根據基本的投資組合理論，我們知道最小變異數投資組合中的資產權重是 $$ w_{MVP}=\frac{\Sigma^{-1}\mathbf{1}}{\mathbf{1}^T\Sigma^{-1}\mathbf{1}} $$ 和 $ \mathbf{1} $ 一個向量。在我們的設置中， $ \Sigma = \begin{pmatrix}\alpha^2 & \alpha\rho \ \alpha\rho & 1\end{pmatrix} $ 因此資產的最佳權重 $ a $ 是
$$ w_a\equiv w_{MVP,a}=\frac{1-\alpha\rho}{1+\alpha^2-2\alpha\rho} $$
我們現在可以回答一些問題。
什麼時候風險較低的資產的權重恰好等於 100%？
資產權重 $ a $ 如果是 100% $$ \begin{align} 1&\stackrel{!}{=}w_a\ &=\frac{1-\alpha\rho}{1+\alpha^2-2\alpha\rho}\ \Rightarrow 1+\alpha^2-2\alpha\rho &= 1-\alpha\rho\ \Rightarrow \alpha&=\rho \end{align} $$ 即當資產 $ a $ 與資產相關的波動性 $ b $ 的波動性（方便地， $ \alpha $ ) 等於其與資產的相關性 $ b $ .
什麼時候總變異數會小於最小的資產變異數， $ \sigma_a^2=\alpha^2 $ ?
MVP 的總變異數等於 $$ \sigma_{MVP}^2=\frac{1}{\mathbf{1}^T\Sigma^{-1}\mathbf{1}}=\frac{\alpha^2(1-\rho^2)}{1+\alpha^2-2\alpha\rho} $$
它小於最小資產變異數 $ \sigma_a^2=\alpha^2 $ 如果：
$$ \begin{align} \alpha^2 &\stackrel{!}{>} \sigma_{MVP}^2\ &=\frac{\alpha^2(1-\rho^2)}{1+\alpha^2-2\alpha\rho}\ \Rightarrow 1+\alpha^2-2\alpha\rho &> 1-\rho^2\ \Rightarrow \alpha^2-2\alpha\rho+\rho^2 &> 0 \ \Rightarrow \left(\alpha-\rho\right)^2 &> 0 \end{align} $$
最後一個表達式是二次形式 $ \alpha,\rho $ . 因此，任何組合 $ \alpha,\rho $ 和 $ \alpha \neq \rho $ 將導致總變異數減小。