為什麼將投資組合收益定義為加權收益？
在閱讀了現代投資組合理論之後，我想知道為什麼投資組合回報是這樣定義的。假設有 $ n $ 投資組合中的資產，單個資產的簡單回報 $ i $ 有時 $ t $ 定義為 $ r^i_{t} = (P^i_{t} - P^i_{t-1})/(P^i_{t-1}) $ . 然後將投資組合回報定義為個人回報的加權總和，
$ R_t = \sum_{i=1}^n w_i r^i_t, $
在哪裡 $ w_i $ 是單個資產的權重 $ i $ . 然而，這不是我腦海中想的“回報的自然定義”。當時 $ (t-1) $ ，我們為形成投資組合所花費的成本由下式給出
$ C_{t-1} = \sum_{i=1}^n w_i P^i_{t-1}. $
當時 $ t $ , 假設資產價格 $ i $ 上升到 $ P^i_{t} $ ，那麼“投資組合的價值為 $ t $ “ 是
$ V_t = \sum_{i=1}^n w_i P^i_{t} $
所以，投資組合的回報應該是
$ R’t = (V_t - C{t-1}) / C_{t-1} = \frac{\sum_{i=1}^n w_i P^i_{t}}{\sum_{i=1}^n w_i P^i_{t-1}} - 1 $
這與教科書的定義不同 $ R_t $ .
有人可以解釋為什麼我們使用 $ R_t $ 而不是 $ R’_t $ 在定義投資組合回報？
備註添加
在搜尋現代投資組合理論中使用的加權回報時，我發現人們說對數回報是隨時間相加的，但不是跨資產的，而簡單回報是跨資產的，但不是跨時間的。這就是人們在現代投資組合理論中使用簡單回報的原因。
然而，兩者之間的差異不是 $ R_t $ 和 $ R’_t $ 證明簡單回報也不會在資產中疊加？我希望我能解決這個問題，以便我可以繼續..
等價證明
感謝@Dave Harris 提供有用的解決方案。首先，關於公式 $ R’_t $ 應更正為
$ C_{t-1} = \sum_{i=1}^n n_i P^i_{t-1}, $
$ V_t = \sum_{i=1}^n n_i P^i_{t}, $
在哪裡 $ n_i $ 是資產的數量 $ i $ ， 所以
$ R’t = (V_t - C{t-1}) / C_{t-1} = \frac{\sum_{i=1}^n n_i P^i_{t}}{\sum_{i=1}^n n_i P^i_{t-1}} - 1. $
那麼，重寫其實很簡單 $ R_t $ 形式為 $ R’_t $ ：
$ R_t = \sum_{i=1}^n w_i r^i_t = \sum_{i=1}^n \frac{n_iP_{t-1}^i}{\sum_{j=1}^n n_j P^j_{t-1}} \frac{P_t^i - P^i_{t-1}}{P_{t-1}^i} = \frac{\sum_{i=1}^n n_i P^i_{t}}{\sum_{j=1}^n n_j P^j_{t-1}} - 1 = (V_t - C_{t-1}) / C_{t-1} = R’_t, $
其中權重是財富的比例
$ w_i := \sum_{i=1}^n\frac{n_iP_{t-1}^i}{\sum_{j=1}^n n_j P^j_{t-1}} $
你的假設有錯誤。一旦你投資了權重 $ w_i $ 你當時的財富 $ t-1 $ ，當您的資產價格發生變化時，這些權重沒有理由保持不變。想像一下，你有一個等權重的資產組合 $ t-1 $ ， 然後 $ w_i = \frac{1}{n} $ 如果你有 $ n $ 資產。如果除了第一個資產之外你的所有資產都變得一文不值 $ t-1 $ 和 $ t $ ，那麼你的新權重將是 $ w_1^\prime =1 $ , $ w_i^\prime=0\forall i\neq1 $ . 您混淆了權重（指財富的數量）和數量（指資產的單位）。它們不是同一種東西。