估計的貝塔和最優的投資組合
我對 20 種資產進行了回歸，以使用不同的方法估計它們的 beta。我想看看這些估計差異在均值變異數最優投資組合方面的差異。我怎樣才能做到這一點？
問題是我沒有清楚地看到估計的貝塔在經驗上在投資組合優化中所起的作用。具有 N 個資產的均值變異數優化應該類似於
$ min_{\textbf{w}} $ $ \textbf{w}^{’}\textbf{V}\textbf{w} $
受制於
$ \textbf{w}^{’}E(R)=\bar{R} $ , $ \textbf{w}^{’}\textbf{I}=1 $
其中 w 是 N 個資產的權重，我們的選擇變數。 $ \textbf{V} $ 是收益的共變異數矩陣， $ \bar{R} $ 是目標回報， $ \textbf{I} $ 只是一個向量和 $ E(R) $ 是我們資產預期收益的向量。
“未知數”是 V 和 E(R)，我應該使用歷史回報來代替它們嗎？如果是，那麼 beta 在投資組合優化中的用途是什麼？沒有任何？或者也許我應該使用 beta 來獲取 E(R) 和 V 的值？
我不明白，有人可以提供從 beta 到優化投資組合的迷你指南嗎？
首先讓我注意到諸如 CAPM 之類的模型已被廣泛證偽，從 1963 年的 Mandelbrot 開始，到 1973 年的 Fama-MacBeth 測試結束。隨後出現了其他證偽，但實際上，它自 70 年代初以來一直是殭屍理論。困難在於，這種偽造就像 1880 年代的邁克爾遜-莫雷實驗一樣。一旦完成，經典物理學就被證偽了，但普朗克和愛因斯坦還沒有出現。
我在同行評審中發表了一篇論文，提出了一種用於期權定價和投資組合建構的新隨機演算，但沒有類似的替代共識。數學是非常不同的。
你的問題的核心可以用兩個等式來理解。第一個是 $ x_{t+1}=\mu{x}t+\epsilon{t+1} $ . 第二個是 $ r_t=\frac{p_{t+1}q_{t+1}}{p_tq_t}-1 $ .
對於第一個等式，對於願意投資的人， $ \mu>1 $ . 1958 年證明，這個問題在頻率統計中沒有有意義的解決方案。CAPM 是頻率論模型。對於 CAPM，這意味著 $ \tilde{w}=R\bar{w}+\varepsilon $ 只有當 $ R $ 是已知的，這是模型基礎數學的假設。換句話說，諸如 CAPM 和 Black-Scholes 之類的模型取決於人們是否知道參數的真實值。如果他們不這樣做，則已知這些模型無法求解。爭論的焦點是市場表現得好像它知道參數一樣。CAPM 的貝氏推導導致柯西概似不是正常的。
第二個等式返回數據函式而不是已知參數。因此，它必須派生。我有一篇推導收益分佈的論文。如果忽略股息，則分配是價格比率和交易量比率的乘積。股息會產生其自身的複雜性。
然而，根據拍賣理論，可以確定所得混合分佈的主要元素是截斷的柯西分佈。它沒有第一時刻，所以 $ \beta $ 不能像 CAPM 中描述的那樣存在。這與說找不到它不同。這樣的事情意味著模型描述的人口參數不存在。
我忽略了對數模型有兩個原因。首先，CAPM 有附加誤差。其次，通過對 Cauchy 分佈變數進行對數創建的分佈是雙曲正割分佈。它在多元形式中沒有共變異數結構，因此 CAPM 無論如何都被擊敗了。
CAPM 無法發揮作用的一個簡短證明是，如果 $ q_t=q_{t+1} $ 這排除了合併和破產以及 $ \delta_t=0,\forall{t} $ 並且沒有股息，那麼回報是 $ \frac{p_{t+1}}{p_1} $ . 因為股票是在雙重拍賣中出售的，所以沒有贏家的詛咒。理性的行為是出價你的期望。使用 CAPM 的許多買賣雙方的假設，限價簿的限價分佈必須是正態的。
如果您將價格分佈集中在均衡價格周圍並假設市場大致處於均衡狀態，排除諸如流動性危機之類的事情，那麼您最終會得到一個二元正態分佈。均衡收益 $ r^=\frac{p_{t+1}^}{p_t^*} $ . 錯誤可以被認為是超額回報，正負。
注意斜率與角度的切線相同，通過觀察，您很快就會非常接近柯西分佈$$ \theta=\tan^{-1}(r). $$ 反正切是柯西分佈的累積密度函式的核。該角度至少是通過柯西分佈的回報變換。
通過圍繞均衡而不是 (0,0) 積分來求解兩個正態分佈的比率，換句話說，將均衡視為沒有錯誤的位置，或者在概念上通過在錯誤空間而不是價格空間中操作，給你柯西分佈。在統計學中眾所周知，以零為中心的兩個正態分佈的比率是柯西分佈。通過將平衡視為零，它仍然會得出一個在 -100% 處截斷的柯西分佈。如果只存在一隻沒有支付股息的股票，那麼 CAPM 本質上是偽造的。
所以你的問題的答案是，沒有解決方案。
如果您想優化投資組合，請改用凱利賭注。
從視覺上看，我拿了嘉年華郵輪的回報，我沒有減去一個，我只是拿了比率。我進行了核密度估計，去除了股息的回報，使其與上述一致。然後，我從最大概似估計器中映射了截斷的柯西分佈。如你所見，即使我上面寫的一切都是假的，也不可能有 $ \beta $ 如 CAPM 中所述。
實際上有三種方法可以提高擬合度，但我使用了大多數 quant 會使用的方法。
