指數/投資組合的平均相關性

我們嘗試分析投資組合的平均相關性，因為它可以在第 2 b) 節中找到，CBOE 也使用相同的公式來計算隱含相關性：

$$ \rho_{av(2)} = \frac{\sigma^2 - \sum_{i=1}^N w_i^2\sigma_i^2}{2 \sum_{i=1}^N \sum_{j>i}^N w_i w_j \sigma_i \sigma_j} $$ 編輯：假設 $ \sigma^2 = \sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N w_i w_j \sigma_i \sigma_j \rho_{i,j} $ ， 在哪裡 $ \rho_{i,i}=1 $ ， 為了 $ i=1,\ldots,N $ , 上式可寫為

$$ \rho_{av(2)} = \frac{\sum_{i=1}^N \sum_{j>i}^N w_i w_j \sigma_i \sigma_j \rho_{i,j}}{\sum_{i=1}^N \sum_{j>i}^N w_i w_j \sigma_i \sigma_j}. $$ 出現以下問題。

1. 假如說 $ w_i \in \mathbb{R} $ ，即允許做多/做空槓桿，是否有可能 $ |\rho_{av(2)}|>1 $ ? 請注意，我們不假設 $ \sum w_i=1 $ .
2. 是否已經存在對平均相關性的貢獻的概念？這意味著，例如在多頭/空頭投資組合中，平均相關性應該接近於零，我可以確定推動平均相關性上升（絕對值）的頭寸。

我在 3 資產案例中用數學進行了一些計算。假設我們有曝光 $ w_i,i=1,2,3 $ 和波動率 $ \sigma_i,i=1,2,3 $ 和相關性 $ \rho_{1,2},\rho_{1,3},\rho_{2,3} $ . 讓我們假設 $ \sigma_1=\sigma_2=\sigma_3=\sigma $ 對於一些任意的正面 $ \sigma $ . 對於我們假設的權重 $ w_2=w_3 = 0.5 $ 我們在資產 1 上做空 $ w_1 = -0.5 $ . 那麼上面的公式就變成了

$$ \rho_{av(2)} = \rho_{1,2}+\rho_{1,3}-\rho_{2,3}. $$ 那麼問題是我們是否可以找到相關性的有效（正定相關矩陣）值，以便上述公式在單位區間之外提供結果。一個可能的選擇是 $ \rho_{1,2}=0.95, \rho_{1,3}=0.95 $ 和 $ \rho_{2,3}=0.89 $ 結果 $ 1.01 $ ! 數學程式碼如下：

pfvar[w1_, w2_, w3_] := w1^2*[Sigma]1^2 + w2^2*[Sigma]2^2 + w3^2*[Sigma]3^2 + 2*([Sigma]1*[Sigma]2*[Rho]12*w1*w2 + [Sigma]1*[Sigma]3*[Rho]13*w1*w3 + [Sigma]3*[Sigma]2*[Rho]23*w3*w2)

impliedCorr[w1_, w2_, w3_] := (pfvar[w1, w2, w3] - (w1^2*\[Sigma]1^2 + w2^2*\[Sigma]2^2 
  + w3^2*\[Sigma]3^2))/(  2*(\[Sigma]1*\[Sigma]2*w1*w2 + \[Sigma]1*\[Sigma]3*w1*
      w3 + \[Sigma]3*\[Sigma]2*w3*w2)  )

隱含校正

$$ w1, w2, w3 $$/。w2 -> w3 /。$$ Sigma $$2 ->$$ Sigma $$3 /.$$ Sigma $$3 ->$$ Sigma $$1 /。w3 -> 0.5 /。w1 -> -0.5 // 簡化 $$ Rho $$12 +$$ Rho $$13 -$$ Rho $$23 /.$$ Rho $$12 -> 0.95 /。$$ Rho $$13 -> 0.95 /。$$ Rho $$23 -> 0.89

編輯：感謝@John，我發現了一個錯誤並更正了 $ \rho_{2,3} $ 到 $ 0.89 $ .

讓我們從替換開始 $ \sigma $ 由它的估計公式 $ \sigma^2=\frac{1}{n}\sum^n_{i=1}(x_i-\mu)^2 $ . 現在，通過替換 $ \mu $ 由它的估計器 $ \mu=\frac{1}{n}\sum^n_{i=1}x_i $ 在我們得到的變異數公式中：

$ \sigma^2=\frac{1}{2n^2}\sum^n_{j=1}\sum^n_{i=1}(x_i-x_j)^2 $ .

對於單個資產，變異數將寫入 $ \sigma^2_s=\frac{1}{2n^2}\sum^n_{j=1}\sum^n_{i=1}(x_{s,i}-x_{s,j})^2 $ , $ s=1,2,…,N $ . 對於投資組合，我們可以將觀察結果表示為 $ y_i=\sum_{s=1}^N w_sx_{s,i} $ ，所以投資組合的變異數寫成

$ \sigma^2=\frac{1}{2n^2}\sum^n_{j=1}\sum^n_{i=1}(y_i-y_j)^2=\frac{1}{2n^2}\sum^n_{j=1}\sum^n_{i=1}(\sum_{s=1}^N w_sx_{s,i}-\sum_{s=1}^N w_sx_{s,j})^2 $

現在，將其輸入到您的公式中，我們得到分子：

$ \sigma^2-\sum_{s=1}^N w^2_s\sigma_s^2=\frac{1}{2n^2}\sum^n_{j=1}\sum^n_{i=1}(\sum_{s=1}^N w_sx_{s,i}-\sum_{s=1}^N w^2_sx_{s,j})^2-\sum_{s=1}^N w_s\frac{1}{2n^2}\sum^n_{j=1}\sum^n_{i=1}(x_{s,i}-x_{s,j})^2=\frac{1}{2n^2}\sum^n_{j=1}\sum^n_{i=1}[(\sum_{s=1}^N w_s(x_{s,i}-x_{s,j}))^2-\sum_{s=1}^N w^2_s(x_{s,i}-x_{s,j})^2]= $

$ =\frac{1}{2n^2}\sum^n_{j=1}\sum^n_{i=1}[\sum_{s=1}^N w_s^2(x_{s,i}-x_{s,j})^2+2\sum^N_{s=1}\sum^N_{t>1} w_s w_t(x_{s,i}-x_{s,j})(x_{t,i}-x_{t,j})-\sum_{s=1}^N w^2_s(x_{s,i}-x_{s,j})^2] $

$ =\frac{1}{n^2}\sum^n_{j=1}\sum^n_{i=1}\sum^N_{s=1}\sum^N_{t>1} w_s w_t(x_{s,i}-x_{s,j})(x_{t,i}-x_{t,j}) $

在分母上你有：

$ 2\sum^N_{s=1}\sum^N_{t>1} w_s w_t\sigma_s\sigma_t=\frac{1}{n^2}\sum^N_{s=1}\sum^N_{t>1} w_s w_t\sqrt{\sum^n_{j=1}\sum^n_{i=1}(x_{s,i}-x_{s,j})^2\sum^n_{j=1}\sum^n_{i=1}(x_{t,i}-x_{t,j})^2} $ .

分數看起來像：

$ \rho=\frac{\sum^N_{s=1}\sum^N_{t>1} w_s w_t\sum^n_{j=1}\sum^n_{i=1}(x_{s,i}-x_{s,j})(x_{t,i}-x_{t,j})}{\sum^N_{s=1}\sum^N_{t>1} w_s w_t\sqrt{\sum^n_{j=1}\sum^n_{i=1}(x_{s,i}-x_{s,j})^2(x_{t,i}-x_{t,j})^2}}=\frac{\sum^N_{s=1}\sum^N_{t>1}A}{\sum^N_{s=1}\sum^N_{t>1}\sqrt{B}} $

現在我們通過 Cauchy-Schwarz 不等式來看看 A 和 B 之間的關係 $ A^2\leq B $ 這轉化為 $ |\rho|\leq1 $ . 希望我沒有犯很多錯誤…

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/8689