從有效邊界計算市場組合
我有一個特定的投資組合邊界。有人可以向我提供有關如何從有效邊界計算市場投資組合的詳細資訊嗎？我知道我必須從無風險資產中畫出切線，但是如何畫呢？有沒有具體的公式來計算無風險資產？任何幫助將不勝感激。
正如@stans 在對您的問題的評論中已經說過的那樣，市場投資組合的存在取決於無風險利率的存在 $ r_f $ ，在這種情況下，無風險意味著它的價值可以在相關的回報範圍內完美收縮，例如，您很可能會在 1 個月或 1 年內獲得該利率。從理論上講，我們還必須能夠以相同的無風險利率借出和/或借入。
為便於討論，我們假設您已向LIBOR 利率或任何其他銀行同業拆借利率面板查詢相關的無風險利率。*
相切條件意味著什麼？
從上畫一條線 $ 0,r_f $ 在您的圖表中指向與您的有效邊界相切的點。在從頭開始不知道市場點的情況下，讓我們稱之為點 $ M $ ，讓我們將其預期收益和波動率表示為 $ \mu_m $ 和 $ \sigma_M $ .
鑑於這個（但未知的）點，資本市場線的公式 $ L $ 是：
$$ \mu_L=r_f+\frac{\mu_M-r_f}{\sigma_M}\sigma $$
即如果 $ \sigma = \sigma_M $ ，該線位於市場點，預期收益為 $ \mu_L=\mu_M $ . 此外，給定任何投資權重向量 $ \mathbb{w} $ , 資產的預期收益向量 $ \mathbb{\mu} $ 和資產的共變異數矩陣 $ \mathbb{\Sigma} $ ，我們的投資組合的預期收益為：
$$ \mu_p(\mathbb{w})=r_f + \left(\mathbb{\mu}-\mathbb{1}r_f\right)^T\mathbb{w} \qquad $$ 注意：在組合中使用無風險利率，我們可以將其添加到我們的投資組合中（儘管在有效前沿中，它的權重只是固定為零）。
…我們的投資組合的波動性是： $$ \sigma_p(\mathbb{w})=\left(\mathbb{w}^T\mathbb{\Sigma}\mathbb{w}\right)^{\frac{1}{2}} $$
在切點（市場點）資本市場線的斜率 $ L $ 和有效邊界的斜率（在投資組合 $ p $ ) 相等，即
$$ \left.\frac{\partial \mu_L}{\partial \sigma}\right|M=\left.\frac{\partial \mu_p}{\partial \sigma_p}\right|{M} $$ 讓我們把它寫出來（抑制 $ M $ ):
$$ \frac{\mu_M-r_f}{\sigma_M}=\frac{\partial \mu_p}{\partial \mathbb{w}}\bigg/\frac{\partial \sigma_p}{\partial \mathbb{w}} \Leftrightarrow \frac{\mu_M-r_f}{\sigma_M}\frac{\partial \sigma_p}{\partial \mathbb{w}}=\frac{\partial \mu_p}{\partial \mathbb{w}} $$
從矩陣演算，我們知道 $ \frac{\partial}{\partial x}a^Tx=a $ 和 $ \frac{\partial}{\partial x}x^TBx=Bx+B^Tx $ ，在我們的例子中，由於對稱性 $ \mathbb{\Sigma} $ , $ \frac{\partial}{\partial w}w^T\Sigma w =2\Sigma w $ . 因此，我們可以重新排列相切條件並找到：
$$ \frac{\mu_M-r_f}{\sigma_M}\frac{1}{\sigma(w)}\mathbb{\Sigma}w=\mathbb{\mu}-\mathbb{1}r_f $$
在 $ M $ ，投資組合波動率和市場波動率重合，即 $ \sigma(w)\equiv \sigma_M $ . 因此我們可以解決 $ w $ 作為：
$$ w=\frac{\sigma_M^2}{\mu_M-r_f}\mathbb{\Sigma}^{-1}\left(\mathbb{\mu}-\mathbb{1}r_f\right) $$
當我們正在尋找一個資產權重總和為 100% 的投資組合時，我們引入條件 $ \mathbb{1}^Tw=1 $ ，最終產生：
$$ \begin{align} w_M&=\frac{w}{\mathbb{1}^Tw}\ &=\frac{\mathbb{\Sigma}^{-1}\left(\mathbb{\mu}-\mathbb{1}r_f\right)}{\mathbb{1}^T\mathbb{\Sigma}^{-1}\left(\mathbb{\mu}-\mathbb{1}r_f\right)} \end{align} $$
這是市場投資組合的公式，使用相切條件得出。請注意，您也可以使用 Lagrangian ansatz 得出此結果。
HTH？
- 注意：在實踐中，您還會將國庫券利率視為無風險利率，因為它們是可用的最無風險利率。
正約束問題的附錄
如果您的問題受到非負性約束的限制， $ w_i\geq 0 $ ，一種方法可以是製定一個具有目標回報的二次規劃 $ m^* $ :
$$ \min \frac{1}{2} w^T\Sigma w \qquad s.t. \quad w_i \geq 0,\quad w^T(\mu-r_f)=m^* $$
然後你改變 $ m^* $ 直到 $ \sum w_i=1 $ . 這會導致您在非負約束下的切線投資組合。
最終，您可以使用您喜歡的非線性優化器，並簡單地指示它最大化夏普比率 st 非負性和完全投資約束……