從拉格朗日方程推導平均變異數投資組合權重作為閉式解析解
我正在嘗試為下面的受限 MVO 問題找到一個封閉形式的解決方案。
$ \max_w w’\mu - \frac{\lambda}{2}w’\Sigma w $
英石 $ w’ $ 1 = 1
目標的拉格朗日是 $ L(w, \gamma) = w’\mu - \frac{\lambda}{2}w’\Sigma w -\gamma(w’ $ 1 - 1).
一階條件為：
$ \frac{\partial L}{\partial w} = \mu - \lambda \Sigma w - \gamma $ 1 = 0
因此， $ w = \frac{1}{\lambda}\Sigma^{-1}(\mu-\gamma $ 1) $ \hspace{1cm} [1] $
$ \frac{\partial L}{\partial \gamma} = w’ $ 1 - 1 = 0
因此， $ w $ ‘1 = 1 $ \hspace{1cm} [2] $
只是為了澄清， $ \gamma $ 是實數；1、 $ \mu $ 尺寸為 Nx1； $ \Sigma $ 維度為 NxN。
代替
$$ 1 $$進入$$ 2 $$
$ [\frac{1}{\lambda}\Sigma^{-1}(\mu-\gamma $ 1 $ )]’ $ 1 = 1
$ (\mu-\gamma 1)’\Sigma^{-1} $ 1 = $ \lambda $ 我無法表達 $ \gamma \text{ in terms of } \Sigma, \mu, \lambda $ , 將其代入
$$ 1 $$寫一個解決方案 $ w $ . 很感謝任何形式的幫助。
讓我們堅持文獻中的命名法，讓 $ \gamma $ 表示決策者的風險厭惡係數。優化問題是
$$ \max_{\mathrm{w}} \mathrm{w}^T\mathrm{\mu}-\frac{1}{2}\gamma \mathrm{w}^T\mathrm{\Sigma}\mathrm{w} \quad s.t. \mathrm{w}^T\mathrm{e}=1 $$ 在哪裡 $ e $ 表示一個向量。相應的拉格朗日如下： $$ L(\mathrm{w},\lambda)= \mathrm{w}^T\mathrm{\mu}-\frac{1}{2}\gamma \mathrm{w}^T\mathrm{\Sigma}\mathrm{w} -\lambda\left( \mathrm{w}^T\mathrm{e}-1\right) $$
一階條件是線性的： $$ \begin{align} L_w&=\mathrm{\mu}-\gamma\mathrm{\Sigma}\mathrm{w}-\lambda\mathrm{e}=!=0\ L_{\lambda}&=\mathrm{e}^T\mathrm{w}=!=1 \end{align} $$
我們可以將其表述為線性系統： $$ \begin{equation} \begin{pmatrix} \gamma\mathrm{\Sigma} & \mathrm{e}\ \mathrm{e}^T & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathrm{w}\ \lambda\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\mathrm{\mu} \ 1\end{pmatrix} \end{equation} $$ 因此
$$ \begin{equation} \begin{pmatrix} \mathrm{w^}\ \lambda^\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \gamma\mathrm{\Sigma} & \mathrm{e}\ \mathrm{e}^T & 0\end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix}\mathrm{\mu} \ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}c_{11} & c_{12} \ c_{21} & c_{22}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\mathrm{\mu} \ 1\end{pmatrix} \end{equation} $$
這就是我們使用塊矩陣求逆定理的地方。我們知道_ $ w^* $ 由倒置矩陣的第一行乘以約束向量給出，
$$ \mathrm{w}^*=c_{11}\mathrm{\mu}+c_{12} $$ 從 wiki 查找兩個反轉，我們發現
$$ c_{11}=\frac{1}{\gamma}\mathrm{\Sigma}^{-1}-\frac{1}{\gamma}\mathrm{\Sigma}^{-1}\mathrm{e}\left(\mathrm{e}^T\frac{1}{\gamma}\mathrm{\Sigma}^{-1}\mathrm{e}\right)^{-1}\mathrm{e}^T\frac{1}{\gamma}\mathrm{\Sigma}^{-1} $$ 和 $$ c_{12}=\frac{1}{\gamma}\mathrm{\Sigma^{-1}}\mathrm{e}\left(\mathrm{e}^T\frac{1}{\gamma}\mathrm{\Sigma}^{-1}\mathrm{e}\right)^{-1}=\frac{\mathrm{\Sigma^{-1} e}}{\mathrm{e}^T\mathrm{\Sigma^{-1} e}} $$
讓我們介紹以下內容
$$ \begin{align} a&=\mathrm{e}^T\mathrm{\Sigma^{-1}}\mathrm{e}\ b&=\mathrm{e}^T\mathrm{\Sigma^{-1}}\mathrm{\mu}\ w_{MVP}&=\frac{\mathrm{\Sigma^{-1} e}}{\mathrm{e}^T\mathrm{\Sigma^{-1} e}}\ w_{Tangency}&=\frac{\mathrm{\Sigma^{-1} \mu}}{\mathrm{e}^T\mathrm{\Sigma^{-1} \mu}} \end{align} $$ 請注意，方便地，這兩個投資組合是最小變異數投資組合和切線投資組合。然後， $ c_{12}\mu $ 簡化為 $$ c_{12}\mathrm{\mu}=\frac{1}{\gamma}bw_{Tangency}-\frac{1}{\gamma}w_{MVP}b $$
因此
$$ w^* = w_{MVP} + \frac{1}{\gamma}b\left(w_{Tangency}-w_{MVP}\right) $$
最後，我們注意到 $ E(MVP)=\frac{b}{a} $ ， 和 $ V(MVP)=\frac{1}{a} $ . 因此，我們最終可能會替換 $ b $ 在上面的等式中並到達
$$ w^* = w_{MVP} + \frac{1}{\gamma}\frac{\mu_{MVP}}{\sigma_{MVP}^2}\left(w_{Tangency}-w_{MVP}\right) $$