多元化、再平衡和不同的手段
我發現許多金融作者對幾何平均值 (GM) 和算術平均值 (AM) 進行了概括，但在某些情況下它們是錯誤的。有人可以解釋他們的推理嗎？
我為什麼他們錯了的事實是基於 Jensen 不等式：
$ \sum^{n}{i=1} p{i} f(x_{i}) \geq f( \sum_{i=1}^{n} p_{i} x_{i}) $
對於凹函式，在此處驗證。現在的特殊情況是：
$ \sqrt[n]{x_{1}x_{2}…x_{n}} \leq \frac{x_{1}+x_{2}+…+x_{n}}{n} $
對於凹下函式，可以通過反轉不等式來獲得相應的結果，更多here。
作者 1
再平衡和多元化齊頭並進。 沒有再平衡就沒有多元化收益——否則總回報將只是長期幾何回報的加權平均值。 如果您不重新平衡資產類型，您將不會獲得多元化收益。如果您無法重新平衡資產類型，您將無法獲得多元化收益。
再平衡收益隨著波動性的上升而增加，在波動性較小的時期減少。 10% 變動後重新平衡的收益是 1% 變動後收益的 10 倍以上，50% 變動後重新平衡的收益是 10% 變動後收益的 5 倍以上。 最大的收益來自於投資組合劇烈變動的時期，例如 2008-2009 年。– 多元化並不能保證利潤或防止在影響眾多資產類型的下跌中遭受損失。來源。
假設我們有一個下凹的環境，所以
$ \sqrt[n]{x_{1}x_{2}…x_{n}} \geq \frac{x_{1}+x_{2}+…+x_{n}}{n} $ .
- 現在按照段落中的邏輯，總回報只是長期幾何回報的加權平均值。從後面的結果我們知道它大於或等於算術平均值。再平衡是否有多元化的好處？
- 然後下一個粗體句子中拋出的數字有點奇怪。如果我們只是注意到如果我們的環境是凹下環境（估值下降）不一定如此，為什麼會有這樣的好處？
- 但最後一句話拯救了這位作家！這裡沒有錯誤。
作者 2。
威廉伯恩斯坦在這裡更進一步，忽略了詹森：
定期重新平衡的投資組合的有效（幾何平均）回報總是超過成分幾何平均數的加權和。
這種說法背後的隱含前提可能是，從長遠來看，市場正在上漲，在某種程度上非常正確。但是有了這個假設，資產配置的問題就簡化為 Jensen 了——即使有這樣的前提，讀者也應該注意到（或者這樣的句子是錯誤的）。
作者 3。
許多作品依賴於模棱兩可的斷言，例如 Ilmanen 的預期回報 -book，第 485 頁：
**一個系列的算術平均值總是高於幾何平均值（AM > GM），除非波動率為零（AM = GM）。**一個簡單的泰勒級數展開顯示一個很好的近似值是 $ GM \approx AM - \frac{Variance}{2}. $
…但是粗體的句子是錯誤的。您可以使用凹值和 $ AM < GM $ .
問題
- 作者在這裡的意思是什麼？
- 他們是錯的還是他們有一些我錯過的隱藏場所？
- 他們為什麼要陳述有關 AM 和 GM 的問題，因為它們並不總是正確的？
首先，AM總是大於等於GM
$$ x_1 + x_2 + … + x_n \geq \sqrt[n]{x_1x_2…x_n}~\forall x_i \geq 0 $$ 你可以通過歸納來證明它 $ \frac{x_1 + x_2}{2} \geq \sqrt{x_1x_2} $ 或放 $ f(x) = \ln(x), p_i = \frac{1}{n} $ 到 Jensen 的不等式來得到它。等式成立時 $ x_1 = x_2 = … = x_n $ .
對於作者 1 和 2，
我們希望多樣化（賦予不同的權重） $ n $ 不同的資產 $ p_i $ （包括無風險資產）有權重 $ w_i $ （假設可以賣空並且可以藉錢， $ w_i \in \mathbb{R} $ ).
假設這些資產跟隨 $ n $ 帶漂移的幾何布朗運動 $ \mathbf{\mu} = (\mu_1,\mu_2,…,\mu_n) $ 並且它們的波動率項的共變異數矩陣是 $ \mathbf{C} $ . 可以證明最優權重向量 $ \mathbf{w} = (w_1,w_2,…,w_n) $ 應該
$$ \mathbf{w} = \mathbf{C}^{-1} \mathbf{\mu} $$ 一、驗證上述一維情況 $ \displaystyle w = \frac{\mu}{\sigma^2} $ .
它在文獻中被稱為波動率泵送。
上面的結果是最優的，這意味著任何其他權重向量都將低於上面的結果（當然，我們假設資產確實遵循幾何布朗運動，並且我們估計 $ \mu $ 和 $ \mathbf{C} $ 是正確的）。這回答了作者2的問題。
隨著資產的移動，您投資於資產的資金將相應變化，並偏離您應該投入的正確權重。因此，您需要重新平衡您的投資組合以達到最佳權重。
由於我們不能連續重新平衡，因此存在上限為的錯誤 $ \displaystyle O(\frac{1}{\sqrt{n}}) $ ， 在哪裡 $ n $ 是再平衡的次數。
假設再平衡的交易成本為零，我不認為
10% 變動後重新平衡的收益是 1% 變動後收益的 10 倍以上，50% 變動後重新平衡的收益是 10% 變動後收益的 5 倍以上。
對作者 1 是正確的。
對於作者 3，
正如我指出的那樣，當等式成立時，AM 總是大於或等於 GM $ x_1 = x_2 = … = x_n $ . 我認為他是正確的。當一個隨機變數 $ X $ ， 我們有 $ \mathrm{Var}(X) $ ，這意味著 $ P(X=\mu) = 1 $ 對於一些 $ \mu $ ， 或者 $ X $ 幾乎可以肯定是恆定的。在有限的情況下，它只是意味著 $ x_1 = x_2 = … = x_n $ .
對於泰勒級數展開論證，它應該談論伊藤引理的證明（參見非正式推導部分）。證明背後的想法是做一個泰勒展開式 $ x $ 和 $ t $ .
我相信第一個引用中的假設是回報要麼嚴格為正，要麼嚴格為負，作者正在將波動性對幾何回報的影響與算術進行比較。與時變共變異數矩陣相反，多樣化收益的問題與這種差異幾乎沒有關係。波動時期多樣化的好處假設相關性較低，並且假設資產相關性與波動性沒有很強的正相關性。這是基礎金融教學的常見簡化。當資產的回報與風險的比率大致相等並且資產不是完全正相關時，第二個引用將是正確的。第三個報價在長期範圍內是正確的，因為實際利率是正的。