solve.QP R 函式中的 Dmat 參數：Cov 還是 2*Cov？

背景

我的最終目標是從股票指數（例如 S&P500）的 100 隻股票中找到位於有效前沿的投資組合。

這種有效的投資組合將使其變異數與股票指數變異數相同。總結一下，最大化給定目標風險的回報。

問題

我首先學習瞭如何使用 PortfolioAnalytics 包，但是每當我將參數type=“mean-StdDev " 傳遞給函式時，函式 create.efficientFrontier 都會出錯。

在沒有解決上述問題的情況下，我決定使用 fPortfolio 包。我有一個有效的邊界，但我無法得到一個包含權重、收益和變異數的矩陣，所以我可以對變異數列進行二進制搜尋，然後選擇相應的權重（也許有一種方法，但我是新手R)。

如果沒有解決上述問題，我決定直接使用solve.QP 解決方案。我終於能夠做我想做的事情。

一旦我得到一個有效的邊界，我決定將它與我從 fPortfolio 得到的進行比較。令我驚訝的是，當收益相同時，變異數結果顯著不同。一旦我排除故障，我發現差異是由於 Dmat 參數，即共變異數矩陣。

我將Dmat <- Cov * 2傳遞給solve.QP 函式，但如果我改為使用Dmat <- Cov，那麼我會從 fPortfolio 獲得相同的結果。沒有任何改變，相同的數據集，相同的約束。顯然，solve.QP 的投資組合變異數是 fPortfolio 的變異數的兩倍。

我在 fPortfolio 中使用最基本的預設配置，即只將返回數據集傳遞給它。

MV Portfolio Frontier 
Estimator:         covEstimator 
Solver:            solveRquadprog 
Optimize:          minRisk 
Constraints:       LongOnly

問題

我在網路上遇到了一些程式碼，將共變異數矩陣乘以 2並將其作為Dmat傳遞。然而，其他一些程式碼只是將共變異數矩陣作為 Dmat 傳遞給 solve.QP 函式（即，不將其乘以 2）。

• 哪種方法是正確的？

根據我對二次規劃和 solve.QP 函式的研究，我相信共變異數矩陣必須乘以 2。

solve.QP 常式實現了 Goldfarb 和 Idnani (1982, 1983) 的對偶方法，用於求解形式為 min(-d^T b + 1/2 b^TD b) 且約束為 A^T b > 的二次規劃問題= b_0。

均值變異數優化（有效邊界）是形式為 min(w^TD w - q R^T w) 的二次規劃問題，約束條件為 A^T w >= w_0。

因此，在將 MV 目標函式轉換為 solve.QP 使用的等效形式時，共變異數矩陣必須乘以 2。

但是，這意味著fPortfolio 中的程式碼不正確。

• 以前有人注意到 fPortfolio 的這種行為嗎？

我想我在這裡遺漏了一些非常基本的東西！

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程式碼

eff.frontier <- function (ret, max.allocation=NULL, rf=0, risk.limit=.5, risk.increment=.005)
{          
 Dmat <- 2 * cov(ret)      
 n <- ncol(Dmat)      
 Amat <- cbind(1, diag(n))
 bvec <- c(1, rep(0, n))
 meq <- 1

 if(!is.null(max.allocation)){
   Amat <- cbind(Amat, -diag(n))
   bvec <- c(bvec, rep(-max.allocation, n))
 }

 nLoops <- risk.limit / risk.increment + 1
 iLoop <- 1

 eff <- matrix(.0, nrow=nLoops, ncol=n+3)
 colnames(eff) <- c(colnames(returns), "Return", "StdDev", "SharpeRatio")

 for (i in seq(from=0, to=risk.limit, by=risk.increment))
   {
   dvec <- colMeans(ret) * i
   sol <- solve.QP(Dmat=Dmat, dvec=dvec, Amat=Amat, bvec=bvec, meq=meq)
   eff[iLoop,"StdDev"] <- sqrt(sum(sol$solution %*% colSums((Dmat * sol$solution))))
   eff[iLoop,"Return"] <- as.numeric(sol$solution %*% colMeans(ret))
  eff[iLoop,"SharpeRatio"] <- (eff[iLoop,"Return"]-rf) / eff[iLoop,"StdDev"]
  eff[iLoop,1:n] <- sol$solution
   iLoop <- iLoop+1
   }
   return(as.data.frame(eff))
}

您從fPortfolio包中獲得的結果是正確的。如果您不將共變異數矩陣乘以 2，您將從quadprog包中得到相同的結果。所以，要麼使用fPortfolio要麼使用quadprog而不使用 2。

您找到的那個公式中的“1/2”可能指的是一些特定的問題。但是，我在投資組合優化研究中也看到了這種乘以 2 的方法。例如，Eric Zivot 在他的材料中使用了這種方法。我不認為這是正確的。可以肯定的是，我建議您使用 Excel 完成一個簡單的範例，手動完成所需的所有步驟。

編輯：

進一步研究了這個問題並嘗試了以下程式碼：

library(fPortfolio)
library(quadprog)
ret = 100 * LPP2005.RET[,1:6]
Dmat1 <- cov(ret)     
Dmat2 = 2 * cov(ret)
Dmat3 = 10 * cov(ret)
n <- ncol(Dmat)      
dvec = rep(0, n)
Amat <- cbind(rep(1, n), diag(n))
bvec <- c(1, rep(0, n))
meq <- 1
## Dmat
## n
## dvec
## Amat
## bvec
qp.out1 = solve.QP(Dmat, dvec, Amat, bvec, meq, FALSE)
qp.out2 = solve.QP(Dmat, dvec, Amat, bvec, meq, FALSE)
qp.out3 = solve.QP(Dmat, dvec, Amat, bvec, meq, FALSE)
qp.out1$solution
qp.out2$solution
qp.out3$solution

我得到了相同的重量Dmats。因此，看起來將共變異數矩陣乘以常數的權重不會改變優化結果。但是，當您建構您的時，eff.frontier您仍然通過那些 n 倍的共變異數矩陣來獲得您的標準偏差：

eff[iLoop,"StdDev"] <- sqrt(sum(sol$solution %*% colSums((Dmat * sol$solution))))

我認為解決方案是：

eff[iLoop,"StdDev"] <- sqrt(sum(sol$solution %*% colSums((cov(ret) * sol$solution)))) 

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/31743