如果機率度量小於零，我們是否存在套利
背景資料：
這個問題從這裡開始
寫起來很誘人
$$ V_0(X) = \beta\left[\left(\frac{\beta^{-1}S_0 - S_1(d)}{S_1(u) - S_1(d)}\right)X(u) + \left(\frac{S_1(u) - \beta^{-1}S_0}{S_1(u) - S_1(d)}\right)X(d)\right] $$ 作為 $$ V_0(X) = E_Q[\beta X] $$其中期望是針對新的純形式機率測度進行的 $ Q $ 被定義為$$ Q(u) = \frac{\beta^{-1}S_0 - S_1(d)}{S_1(u) - S_1(d)} $$和$$ Q(d) = \frac{S_1(u) - \beta^{-1}S_0}{S_1(u) - S_1(d)} $$ 注意 $ Q(u) + Q(d) = 1 $ ; $ Q $ 將是一個機率度量，前提是這些值是非負的。
問題：
顯示原因 $ \ Q(u),Q(d) \geq 0 $
我的推理：
認為
$$ Q(u) = \frac{\beta^{-1}S_0 - S_1(d)}{S_1(u) - S_1(d)} < 0 $$然後要麼 $ \beta^{-1}S_0 - S_1(d) > 0 $ 和 $ S_1(u) - S_1(d) < 0 $ 或者 $ \beta^{-1}S_0 - S_1(d) < 0 $ 和 $ S_1(u) - S_1(d) > 0 $ . 無論哪種情況，都會有套利機會。 考慮第一種情況
$$ \beta^{-1}S_0 - S_1(d) > 0 \ \ \text{and} \ \ S_1(u) - S_1(d) < 0 $$ 那麼我相信我們會做空 $ \beta^{-1}S_0 $ 並使用收益做多債券。 我不確定這是否是我需要解決問題的正確推理。非常感謝任何建議。
你說了算， $ Q $ 只有當_ $ Q(u) $ 和 $ Q(d) $ 是非負的。這只會發生在沒有套利機會的情況下。
例如，如果 $ Q(u)<0 $ ，那麼要麼 $ \beta^{-1}S_0 > S_1(d) > S_1(u) $ 或者 $ S_1(u) > S_1(d) > \beta^{-1} S_0 $ . 換句話說，要麼無風險資產在世界所有國家都嚴格優於有風險資產，要麼恰恰相反。無論如何，這構成了套利機會，因為兩種資產具有相同的初始價格 $ S_0 $ . 做空表現不佳的一方做多另一方是一種零成本策略，在世界所有國家都有正支付，因此是靜態套利機會。您可以使用類似的理由來證明 $ Q(d) $ 在沒有套利的情況下不能為負。
現在，如果您從一開始就接受這個論點，它會告訴您：假設沒有套利機會（這正是允許您編寫您聲明的第一個表達式的原因 $ V_0(x) $ )，那麼，存在一個機率測度 $ Q $ 這樣一個人可以寫 $ V_0(X) = \Bbb{E}^Q[\beta X] $ .