不允許賣空時 2 種資產的最優投資組合公式？
我正在尋找一個公式來計算產生最佳投資組合（即最高夏普比率）的兩種風險資產的權重。
到目前為止，我從密蘇里大學的網站上找到了以下公式
但是，此公式通常會產生負權重。例如，當無風險利率=3%、Ra=5%、STDEVa=15%、Rb=10%、STDEVb=20%、CORRAb=50% 時，它返回資產 A 的權重 -24%。可能是因為它允許賣空，使其不適用於我的情況。我需要找到非負權重。
有誰知道不允許賣空的兩資產最優投資組合的非負權重公式？
謝謝。
首先，您應該說服自己，對於一般情況（2 個或更多資產），並且沒有無賣空約束，夏普相對於投資組合權重的梯度只有兩個最優值：全域最小值和全域最大值。現在考慮兩種資產情況：您可以用極座標表示投資組合權重，在這種情況下，不做空約束成為約束 $ 0 \le \theta \le \pi/2 $ . 通過簡單的微積分，您只需計算全域最大值；如果它不滿足無短路約束，則只需檢查兩個端點。
現在全域最優發生在
$$ \vec{w} \propto \begin{bmatrix} \frac{1}{\sigma_1} \left(\zeta_1 - \rho \zeta_2\right)\ \frac{1}{\sigma_2} \left(\zeta_2 - \rho \zeta_1\right)\ \end{bmatrix}, $$ 在哪裡 $ \zeta_i $ 是夏普 $ \mathrm{i}^{th} $ 資產，以及 $ \sigma_i $ 是波動率，並且 $ \rho $ 是收益的相關性。 然後：
- 如果 $ \zeta_1, \zeta_2 \le 0 $ ，什麼都不要！
- 如果 $ \zeta_2 \le \rho \zeta_1 $ ，則持有資產 1，享受夏普 $ \zeta_1 $ .
- 如果 $ \zeta_1 \le \rho \zeta_2 $ ，則持有資產 2，享受夏普 $ \zeta_2 $ .
- 否則保持全域最優，其夏普係數為$$ \frac{\zeta_1^2 - 2 \rho \zeta_1 \zeta_2 + \zeta_2^2}{1 - \rho^2}. $$
請注意，“理想”情況是 $ \zeta_i $ 既積極又 $ \rho \to -1 $ .
對於兩種風險資產，“不允許做空”的問題是微不足道的。使用您給出的公式計算無約束解並檢查結果。有3種情況：
(1) 如果兩個權重都是正數，那麼您很幸運，您已經找到了不允許賣空問題的解決方案。停在這裡。
(2) 如果一個權重為負（另一個為正），那麼您不能投資其中一種資產，因此解決方案是 100% 投資於另一種資產（無約束解中權重為正的資產）
(3) 如果兩個權重都是負數，那麼解決方案是什麼都不投資。（如果您需要投資，那麼只需選擇您最不討厭的兩種資產中的哪一種）。