如何使用“財富之輪”(如投資期權/回報)來模擬投資組合風險(多元化)?
假設我有 6 種可能的投資選擇,成功機率和相應的回報如下:
| Investment | Probability of Success | Return | | I1 | 0.5 | 2x | | I2 | 0.3 | 6x | | I3 | 0.1 | 10x | | I4 | 0.06 | 20x | | I5 | 0.02 | 40x | | I6 | 0.02 | 40x |
我想知道什麼是最好的“投資組合”(即風險最小的投資組合——即,目前至少沒有任何限制)。我希望為投資“模擬”這樣的投資組合及其預期回報。我不知道這是否可能,但我想看看它是否能回答一些問題:
- 如果初始投資能力為 100,000 美元,我應該如何投資這些期權,即,在哪個期權上投資多少才能最終獲得“一些”利潤而損失風險最小?
- 如果無法使用模擬進行上述操作,那麼是否有可能“看到”什麼是最佳投資組合?即,都在哪裡投資?
- 如果以上都不可能,那麼模擬這種情況以衡量“投資風險”的最佳方法是什麼?
我基本上想要一個圖形視圖來了解事情的樣子,即這種投資的風險。我想使用 Monte-Carlo 在 Excel 中對此進行模擬,但我似乎無法理解“做什麼”才能觀察與投資組合相關的風險,或者如何形成風險最小的良好投資組合。
**更新:**在任何給定的時間點,只有一項投資會成功,因為在“t”時間只有一種選擇可以發生。因此,如果我在每個計劃中投資1美元,而 I1 成為贏家,我將獲得 2美元,但淨虧損4美元。這意味著一項糟糕的投資。但與此同時,我也可以以40美元的價格著陸,但機率非常低。我基本上希望模擬類似的東西,看看它是否“值得” - 基本上是相同的視覺提示/證明。
投資組合管理的一般優化問題如下:
$$ \min x Q x $$ 在哪裡 $ x $ 是您的問題的分配向量,並且 $ Q $ 是所有可能投資的共變異數矩陣。
在您的範例中,您可以計算期望 $ E[x] $ , 變異數 $ Var[x]=E[x^2]-E[x]^2 $ 和協變數 $ cov[x,y]=E[xy]-E[x]E[y] $ 每次下注都很容易 $ x $ ,後者給你 $ Q $ 需要的問題。
正如@cardinal 在他的評論中所說,如果您不添加任何約束,那麼在這種情況下,最佳投資組合是變異數最小的投資組合,因此根本沒有頭寸。
首先,為了使問題有意義,您需要添加:
$$ x_i \geq 0 \quad \forall i $$ 此外,您需要添加一個約束,如下所示:
$$ \sum_i x_i=n $$ 這意味著您必須投資總金額 $ n $ 在遊戲裡。
但這仍然不會給你一個有趣的例子。
事實上,您想對您的投注組合的預期回報施加另一個約束,如下所示:
$$ \mu x \geq \bar{\mu} $$ 在哪裡 $ \mu $ 是所有賭注的期望向量,並且 $ \bar{\mu} $ 是您希望從投資組合中獲得的最低預期回報。
最後,為了得到一個有趣的結果,你想選擇 $ \bar{\mu} $ 等於賭注的期望值。您應該能夠發現,對於相同的預期回報,您可以通過投資不同的賭注來降低波動性。
例如,您可以使用fmincon在 MATLAB 中執行它,或者您可以簡單地創建一個 excel 電子表格並使用求解器。