如何使用“財富之輪”（如投資期權/回報）來模擬投資組合風險（多元化）？
假設我有 6 種可能的投資選擇，成功機率和相應的回報如下：
| Investment | Probability of Success | Return | | I1 | 0.5 | 2x | | I2 | 0.3 | 6x | | I3 | 0.1 | 10x | | I4 | 0.06 | 20x | | I5 | 0.02 | 40x | | I6 | 0.02 | 40x |我想知道什麼是最好的“投資組合”（即風險最小的投資組合——即，目前至少沒有任何限制）。我希望為投資“模擬”這樣的投資組合及其預期回報。我不知道這是否可能，但我想看看它是否能回答一些問題：
- 如果初始投資能力為 100,000 美元，我應該如何投資這些期權，即，在哪個期權上投資多少才能最終獲得“一些”利潤而損失風險最小？
- 如果無法使用模擬進行上述操作，那麼是否有可能“看到”什麼是最佳投資組合？即，都在哪裡投資？
- 如果以上都不可能，那麼模擬這種情況以衡量“投資風險”的最佳方法是什麼？
我基本上想要一個圖形視圖來了解事情的樣子，即這種投資的風險。我想使用 Monte-Carlo 在 Excel 中對此進行模擬，但我似乎無法理解“做什麼”才能觀察與投資組合相關的風險，或者如何形成風險最小的良好投資組合。
**更新：**在任何給定的時間點，只有一項投資會成功，因為在“t”時間只有一種選擇可以發生。因此，如果我在每個計劃中投資1美元，而 I1 成為贏家，我將獲得 2美元，但淨虧損4美元。這意味著一項糟糕的投資。但與此同時，我也可以以40美元的價格著陸，但機率非常低。我基本上希望模擬類似的東西，看看它是否“值得” - 基本上是相同的視覺提示/證明。
投資組合管理的一般優化問題如下：
$$ \min x Q x $$ 在哪裡 $ x $ 是您的問題的分配向量，並且 $ Q $ 是所有可能投資的共變異數矩陣。
在您的範例中，您可以計算期望 $ E[x] $ , 變異數 $ Var[x]=E[x^2]-E[x]^2 $ 和協變數 $ cov[x,y]=E[xy]-E[x]E[y] $ 每次下注都很容易 $ x $ ，後者給你 $ Q $ 需要的問題。
正如@cardinal 在他的評論中所說，如果您不添加任何約束，那麼在這種情況下，最佳投資組合是變異數最小的投資組合，因此根本沒有頭寸。
首先，為了使問題有意義，您需要添加：
$$ x_i \geq 0 \quad \forall i $$ 此外，您需要添加一個約束，如下所示：
$$ \sum_i x_i=n $$ 這意味著您必須投資總金額 $ n $ 在遊戲裡。
但這仍然不會給你一個有趣的例子。
事實上，您想對您的投注組合的預期回報施加另一個約束，如下所示：
$$ \mu x \geq \bar{\mu} $$ 在哪裡 $ \mu $ 是所有賭注的期望向量，並且 $ \bar{\mu} $ 是您希望從投資組合中獲得的最低預期回報。
最後，為了得到一個有趣的結果，你想選擇 $ \bar{\mu} $ 等於賭注的期望值。您應該能夠發現，對於相同的預期回報，您可以通過投資不同的賭注來降低波動性。
例如，您可以使用fmincon在 MATLAB 中執行它，或者您可以簡單地創建一個 excel 電子表格並使用求解器。