如何準確使用/分析相關預設值？
我已經閱讀了很多有關相關預設值的內容，但我似乎無法理解它們是如何在投資組合理論設置中實際使用的。假設我有兩個（？）公司，X 和 Y，以及每個公司的歷史預設資訊。了解 X 和 Y 之間的違約相關性如何幫助我建構我的投資組合/損失曲線？如果我有一籃子證券，情況會如何變化？如果需要，我可以添加更多詳細資訊。
相關性對於線性投資組合（例如 CDS 指數）沒有任何作用，但是對於非線性依賴於基礎實體損失的投資組合，例如 CDO 或 $ m $ -th 到預設交換，相關性起作用。在這裡，可能需要某些技術，例如 copula，具體取決於結構的複雜性。
對相關性進行建模的方式可能取決於您擁有的投資組合。
例如，您可以使用混合二項式模型對一小部分貸款組合的預設分佈進行建模。在這種情況下，經濟狀況決定了違約機率，但在每種情況下，個別違約事件具有相同的機率（同質性）。因此，我們通過對一個因素的共同依賴在預設事件中具有相關性。這是通過使混合參數隨機獲得的：p（違約機率）是隨機的。讓 $ p ̃ $ 是我們假設的隨機違約機率分佈在
$$ 0, 1 $$它可以是連續的（即，由密度 f 給出）或離散的。以價值為條件 $ p ̃ $ 違約數量遵循機率參數的二項分佈 $ p ̃ $ . 例如，在離散情況下，有兩種可能的情況，N 個違約中的 k 個違約的機率由下式給出：
$ P(D=k)=f(p_1)\binom Nk p_1^k (1-p_1 )^{N-k}+f(p_2)\binom Nk p_2^k(1-p_1)^{N-k} $
違約次數的變異數為：
$ Var[D]=Np ̅(1-p ̅ )+N(N-1)Var[p ̃] $
第一項是在預設機率固定（即沒有相關性）的情況下適用的變異數。第二項是附加變異數。變化 $ p ̃ $ 是導致違約數量變化的重要因素，因為它決定了違約事件之間的相關性。讓 $ X_i $ 表示發行人 i 的預設指標（如果 i 預設為 1，否則為 0），我們有：
$ ρ(X_i ,X_j )=\frac{Var[p ̃ ]}{p ̅(1-p ̅)} , i≠j $
請注意，由於變異數 $ p ̃ $ 確定預設事件指標之間的相關性，我們可以通過適當選擇分佈來對相關性進行建模 $ p ̃ $ .
可以證明，對於同質的大型貸款組合，損失函式的分佈等於 $ p ̃ $ . 默頓模型具有經濟意義，適合該框架，因此經常用於此目的。假設所有公司具有相同的相關性 $ ρ $ 和相同的違約機率 $ p ̅ $ . 大型同質貸款組合的“違約率”累積分佈可以寫成：
$ P[p(M)≤θ] = N(\frac{1}{\sqrt{ρ}} (N^{-1} (θ) \sqrt{(1-ρ)}-N^{-1} (p ̅ ))) $
這也稱為單因素高斯 copula 模型，並在 CDO 中有許多應用。