如何比較通過期望效用最大化獲得的均值-變異數-偏度-峰度投資組合？
假設我有一些投資組合是最大化效用函式的不同近似值的預期效用的結果，你如何測試這些投資組合的樣本外以及如何比較這些結果？
更具體地說，我試圖根據 CARA 效用函式比較同一組資產的 MV（均值變異數）、MVS（均值變異數-偏度）和 MVSK（均值-變異數-偏度-峰度）投資組合。我最大化了這三個方程，並且對於每個方程，我都有一個最大的預期效用和一組權重形式的解。所以我現在有三個不同的投資組合，它們基於相同的 4 年樣本集（編輯：4 年的每日回報）。我現在可以在第五年（一個樣本外的年份，在四年樣本集之後）測試這些投資組合併比較一些特徵嗎？如果是這樣，我應該比較哪些特徵？你能比較實現的效用，還是這不是正確的意圖？
編輯：一些澄清：
效用函式期望值的四階近似如下：
$ E[U(W)] \approx U(\bar{W})+\frac{1}{2} U^{(2)}(\bar{W}) \sigma_{p}^{2}+\frac{1}{3 !} U^{(3)}(\bar{W}) s_{p}^{3}+\frac{1}{4 !} U^{(4)}(\bar{W}) \kappa_{p}^{4} $
在哪裡 $ U(W) $ 是效用函式， $ \bar{W} $ 是預期財富，並且 $ \sigma_{p}^{2}, s_{p}^{3} $ 和 $ \kappa_{p}^{4} $ 是投資組合變異數、偏度和峰度。
我使用的效用函式是 CARA 效用函式，
$ U(W)=-\exp (-\gamma W) $ ,
在哪裡 $ \gamma $ 表示恆定的風險厭惡係數。
這導致以下等式，
$ E[U(W)] \approx-\exp \left(-\gamma \mu_{p}\right)\left[1+\frac{\gamma^{2}}{2} \sigma_{p}+\frac{\gamma^{3}}{3 !} s_{p}^{3}+\frac{\gamma^{4}}{4 !} \kappa_{p}^{4}\right] $ ,
在 MVSK 的情況下，這是我們最大化的目標函式。如果我們考慮 MV，我們會刪除最後一個方程的第二個操作數的最後兩項。對於 MVS，我們只刪除最後一項。
這些時刻由 $ \begin{aligned} \mu_{p} &=\omega^{\prime} \mu \ \sigma_{p}^{2} &=\omega^{\prime} \mathrm{M}{2} \omega \ s{p}^{3} &=\omega^{\prime} \mathrm{M}{3}(\omega \otimes \omega) \ \kappa{p}^{4} &=\omega^{\prime} \mathrm{M}{4}(\omega \otimes \omega \otimes \omega) \end{aligned} $ 在哪裡 $ \mathrm{M}{i} $ 表示第 i 個矩陣化的累積張量，因此對於 $ i = 2 $ 這是共變異數矩陣，對於 $ i = 3 $ 矩陣化的 coskewness 張量和 $ i = 4 $ 矩陣化的共峰張量。隨著張量的矩陣化，張量的正面切片橫向放置，因此對於 $ i = n $ 我們得到一個 $ n \times n^{(i-1)} $ 矩陣。
關於優化，可以通過多次嘗試SLSQP來解決。雖然我們不能保證全域最優，但我發現這非常有效，因為大多數嘗試都找到了相同的最優值。
現在，無論我們是否找到 MVS 和 MVSK 優化的全域最優值，我仍然不知道如何比較我的結果投資組合。正如 Pontus Hultkrantz 所提到的，效用應該是我衡量樣本外表現的標準，但我如何衡量已實現的效用？
我還應該注意，矩張量是近似的。我的研究目標是證明這些近似值足以在此應用中使用。
謝謝
我想對此添加兩條評論。
1. 基於經驗的效用優化和矩
我認為比較不同程度的泰勒近似效用優化（也就是基於矩的模型，具有兩個、三個、四個，…，無限矩）在處理統計數據不低於的資產宇宙時會為您的模型添加額外的假設您的控制，即使用經驗資產回報時。
通過全效用函式均值變異數優化，您不僅可以在有關數據獨立性的一些強假設下確定（事後）均值變異數最優投資組合，而且還可以在資產範圍的假設下確定由它的（成對的）前兩個時刻很好地表示。不過，這可以通過將效用函式也限制為二次方來調和。當你開始添加矩時，你引入了關於（不可觀察的）數據生成過程（DGP）的更高矩的存在和穩定性的額外隱含假設。
讓我換一種說法：對一些基於效用的最優投資組合進行統計測試可以重新解釋為對你的 DGP 假設的一些（很可能很弱）聯合測試，即它的均值、變異數、偏斜、庫爾特、更高的矩.
2. 跨效用函式比較 假設我們現在已經成功辨識 $ N $ 基於效用的最優投資組合 $ N $ 不同的效用函式，比如二次、三次、四次……然後，您可以分析已實現的效用（或確定性等價物），但您不能跨效用函式比較已實現的效用。你可以做的是比較一個給定效用函式的實現效用，比如說二次，在投資組合中，看看哪個表現最好。真正的交易當然是將您估計的投資組合插入完整的效用函式並進行比較，但請記住我在上面 1. 下的評論。
如果效用是您衡量績效的標準，那麼它仍然是您衡量樣本外績效的標準，因為它是您所關心的。您可以將效用視為衡量利潤和風險之間平衡的指標，其中風險是變異數、偏斜、峰度的某種組合……
你的財富是一個隨機變數 $ X $ 這可以用它的時刻來描述。第一個矩與均值有關，第二個矩與變異數有關，第三個矩與偏斜有關，第四個矩與峰度有關。
如果您對效用函式進行泰勒展開，並採用期望值，您會發現它可以用矩來寫。所以效用函式的選擇決定了你如何看待風險，它只是變異數還是更高的時刻？
在平均變異數中，您的風險是變異數，因為偏斜和峰度都為零（正態分佈假設）。如果分佈不正常，那麼非常負的偏斜可能會給您帶來極大的損失，這是您想要避免的，因此包含在您的實用程序中。因此，在 Mean-Variance 中，您忽略高於 2 的任何時刻，在 Mean-Variance-Skew 中，您忽略高於 3 的時刻，在 Mean-Variance-Skew-Kurt 中，您忽略高於 4 的任何時刻。
編輯：根據定義，使用最接近您的效用函式的成本函式找到的投資組合將是最好的。
因此，當您評估您的投資組合 OOS 時，您只需插入最終財富 $ \mathcal{U}(W_T) = -e^{\gamma W_T} $ （無需將其設為“泰勒製造”）。所以現在的問題是你只觀察到一個觀察結果，因此只有一個效用值。那麼如何估計預期效用呢？如果您關心每月效用，那麼您顯然可以將 1Y 分成 12 個月並獲得 12 個觀察值。否則，您可以對數據進行某種重新採樣，例如參見兩個常見的重新採樣程序但是對於您的樣本數據集的有限樣本，您也會遇到同樣的問題，所以我不確定您是如何解決的？