如何根據彈性來推理槓桿作用
根據定義，給定時期的投資回報是：
$$ r = \frac{P}{W_0} - 1 $$ 在哪裡 $ P $ 是期末投資的價格，以及 $ W_0 $ 是初始投資。我想了解回報相對於價格的百分比變化有多大。這自然是彈性的定義。 彈性可以計算為：
$$ \epsilon = \frac{\partial{r}}{\partial{P}} \cdot \frac{P}{r} = \frac{P}{P-W_0} $$ 現在，如果我們有 2 倍的槓桿，我們應該有 2 的彈性。但是，我似乎無法將這兩個概念聯繫起來。如果 $ W_0 $ 正規化為1，則公式變為：
$$ \epsilon = \frac{P}{P-1} $$ 什麼時候 $ \epsilon = 2 $ ，這意味著 P = 2。但是，這表示只有當 $ P $ 是初始投資的兩倍 $ W_0 $ 槓桿為2。當價格較高時，槓桿降低。
我哪裡弄錯了邏輯？
你的數學是對的。如果我們標準化 $ W_{0}=1 $ ，我們有一個回報
$$ r\left(P\right) = P-1 $$ 和回報的價格彈性 $$ \epsilon\left(P\right) = \frac{P}{P-1} \mathrm{.} $$ 如果你的價格 $ P $ 從它的初始值開始 $ W_{0}=1 $ 到 $ P=2 $ , 你返回 $ r\left(2\right) = 1 $ . 如果您的投資最終價格為 $ P=3 $ ，你的回報是 $ r\left(3\right) = 2 $ . 所以當你從一個價格 $ P=2 $ 以價格 $ P=3 $ , 你的回報來自 $ r\left(2\right) = 1 $ 到 $ r\left(3\right) = 2 $ . 價格為 $ P=4 $ 你的回報將是 $ r\left(4\right) = 3 $ . 所以如果你從一個價格 $ P=3 $ 以價格 $ P=4 $ （注意價格再次上漲 $ 1 $ 單位），您的回報只會從 $ r\left(3\right) = 2 $ 到 $ r\left(4\right) = 3 $ . 第一次你的回報翻倍，第二次你只賺了 $ 50% $ 更多回報。 這就是方程式所說的。您可以查看由於價格變化（衍生品）引起的**局部回報變化。**這始終是不變的。但是，如果您的價格從 $ 1 $ 到 $ 2 $ 或者如果它去，比如說，從 $ 101 $ 到 $ 101 $ .