具有交易成本的最大確定性等價組合
出於好奇，我試圖通過合併（二次）交易成本來計算最大確定性等價分配的投資組合權重。然而，我的結果並不像我想像的那麼直覺 =( 我很樂意為解決這個問題的每一個提示：
令收益分佈的參數為 $ \Sigma $ 和 $ \mu $ . 目前的分配向量是 $ \omega_c $ . 投資者的風險厭惡因子定義為 $ \gamma $ . 當他將財富轉移到分配上時 $ \alpha $ , 投資者支付表格費用 $ T = c(\alpha - \omega_c)’(\alpha - \omega_c) $ 有一些參數 $ c $ ，因此交易成本成倍增加 $ c $ . 因此，在時間點 $ t+1 $ 投資者期望投資組合的回報為
$$ \mu_\text{PF} = \alpha’\mu - T(\alpha,\omega_c) $$ 以及投資組合的相應變異數 $$ \sigma^2_\text{PF} = \alpha’\Sigma\alpha. $$ 在一行中，選擇分配作為最大化問題的解決方案 $$ \alpha^* = \arg \max _{\sum \alpha = 1} \alpha’\mu - T(\alpha,\omega_c) - \frac{\gamma}{2}\alpha’\Sigma\alpha. $$ 等效地，我們有： $$ \alpha^* = \omega_c + \arg \max _{\sum \Delta = 0} (\omega_c+\Delta)’\mu - c\Delta’\Delta - \frac{\gamma}{2}(\omega_c+\Delta)’\Sigma(\omega_c+\Delta). $$ $$ \Delta^* = \arg \max {\sum \Delta = 0} \underbrace{\omega_c ‘\mu - \frac{\gamma}{2}\omega_c’\Sigma\omega_c}{CE(\omega_c)} +\Delta’\mu - c\Delta’\Delta - \frac{\gamma}{2}\Delta’\Sigma\Delta - \gamma \Delta’\Sigma\omega_c. $$ $$ \Delta^* = \arg \max {\sum \Delta = 0} \Delta’\mu - \Delta’\underbrace{(c I + \frac{\gamma}{2}\Sigma)}{:=A}\Delta - \gamma \Delta’\Sigma\omega_c. $$ 一階條件採用以下形式：
$$ \mu - 2A\Delta - \gamma \Sigma\omega_c -\lambda\iota= 0 $$ $$ \iota ’ \Delta = 0 $$ 它遵循 $$ A^{-1} (\mu-\gamma \Sigma \omega_c - \lambda \iota) = 2\Delta $$ 評估 $ \iota’\Delta = 0 $ 和 $ \Delta $ 如上結果 $$ \lambda = \frac{1}{\iota’ A^{-1}\iota}\iota’A^{-1}[\mu - \gamma \Sigma \omega_c] $$ 外掛給 $$ \Delta = A^{-1} (I - \frac{1}{\iota’A^{-1}\iota} \iota’ A^{-1}\iota) (\mu-\gamma \Sigma \omega_c ) = 0\iota. $$ 換句話說，無論目前分配多麼次優，也與 $ c $ ，永遠不會有任何再平衡。我不相信這個結果，但我也沒有在我的計算中看到錯誤。任何人的想法，我在哪裡錯過了什麼/做錯了什麼？
似乎是最後一個等式中的一個小錯誤。它應該讀
$ \Delta^* = A^{-1} \left[\mu-\gamma \Sigma \omega_c - \frac{1}{\iota’A^{-1}\iota} \iota’ A^{-1}(\mu-\gamma \Sigma \omega_c )\iota\right] $ ,
這不等於你的結果。
您想解決以下優化問題：
$$ \begin{gather} \Delta^* = \arg \max_\Delta \Delta^T\mu - \Delta^T A \Delta - \gamma \Delta^T \Sigma\omega_c\ \text{subject to:}\quad \Delta^T \mathbf{1} = 0 \end{gather} $$ 建立拉格朗日
$$ \mathcal{L}(\Delta,\lambda) = \Delta^T\mu - \Delta^T A \Delta - \gamma \Delta^T \Sigma\omega_c - \lambda(\Delta^T \mathbf{1}) $$ 一階 KKT 條件然後產生：
$$ \partial_\Delta \mathcal{L}(\Delta^,\lambda^) = \mu - A\Delta^* - \gamma\Sigma\omega_c - \lambda^\mathbf{1} = \mathbf{0} \tag{1} $$ 隨著 $ \partial_\lambda \mathcal{L}(\Delta^,\lambda^*)=0 $ （這正是約束方程）
$ (1) $ 相當於寫
$$ \Delta^* = A^{-1}(\mu-\lambda^*\mathbf{1} - \gamma\Sigma\omega_c) \tag{2} $$ 將其代入約束方程然後給出：
$$ \begin{align} &(\mu-\lambda^\mathbf{1} - \gamma\Sigma\omega_c)^T(A^{-1})^T \mathbf{1} = 0 \ &\mu^T (A^{-1})^T \mathbf{1} -\lambda^\mathbf{1}^T (A^{-1})^T \mathbf{1} -\gamma\omega_c^T\Sigma^T (A^{-1})^T \mathbf{1} = 0 \end{align} $$ 注意到 $ A := \frac{\gamma}{2}\Sigma + cI $ 是對稱的，即 $ (A^{-1})^T = A^{-1} $ 正如你提到的，進一步的產量： $$ \lambda^* = \frac{1}{\mathbf{1}^T A^{-1} \mathbf{1} } \mathbf{1}^T A^{-1} (\mu -\gamma \Sigma \omega_c ) \tag{3} $$ 堵塞 $ (3) $ 進入 $ (2) $ 最後給出： $$ \Delta^* = A^{-1}\left( \mu - \gamma\Sigma\omega_c - \frac{1}{\mathbf{1}^T A^{-1} \mathbf{1} } \mathbf{1}^T A^{-1} (\mu -\gamma \Sigma \omega_c ) \mathbf{1} \right) $$