Michaud 的重採樣有效邊界 - 樣本外模擬測試
我將把我所有的帳戶積分獎勵給回答這個問題的人
$$ if your answer is crap but it’s the only answer, you’re getting the 165 points $$. 從現在起您將需要等待 2 天左右才能收到積分。是的，所有 $ 165 $ 點！ 我購買了 Michaud & Michaud 1998 年出版的名為“有效資產管理”的書。他們在其中詳細介紹了他們的重採樣有效前沿 (REF) 方法。在第 6 章中，他們提出了一個樣本外模擬測試。我正在嘗試複製此測試，但很難理解它們的含義，因為我不擅長對如何進行模擬研究進行完全冗長的解釋。我會將他們的模擬指令的片段
code以及我認為我必須做的事情將模擬複製到列舉/點中。我的問題是：我是否正確解釋了他們的指示？
In a simulation study, the referee is assumed to know the true set of risk-returns for the assets.1） 我有 $ \mu $ 和 $ \Omega $ ，這些被認為是“真實的”/人口。
The referee does not tell investors the true values but provides a set of Monte Carlo simulated returns consistent with the true risks and returns. In the base case data set, each simulation consists of 18 years of monthly returns and represents a possible out-of-sample realization of the true values of the optimization parameters.***2）**我模擬 $ \mathbf{r}\sim MVN(\mu,\Omega) $ ，這將是一個 $ T\textrm{x}(\textrm{Number of assets}) $ 矩陣。在這裡，他們將矩陣尺寸設置為 $ (18 years12 months)\textrm{x}(\textrm{Number of assets}) $ .
Each set of simulated returns results in an estimate (with estimation error) of the optimization parameters and an MV efficient frontier. Each MV efficient frontier and set of estimated optimization parameters defines an RE optimized frontier.3）這是我最困惑的。我會試著猜測他們在這裡說什麼。這是我的猜測：估計 $ \hat{\mu} $ 和 $ \hat{\Omega} $ 基於模擬 $ \mathbf{r} $ . 然後(i)做 MVO 優化 $ \hat{\mu} $ 和 $ \hat{\Omega} $ , 和(ii) 通過模擬進行 REF 優化 $ 500 $ 期貨來自 $ \hat{\mu} $ 和 $ \hat{\Omega} $ ， 導致 $ \hat{\mathbf{r}}_i\sim MVN(\hat{\mu},\hat{\Omega}) $ , $ i \in {1,…,500} $ . 使用 $ \hat{\mathbf{r}}_i $ 去尋找 $ \hat{\hat{\mu}}_i $ 和 $ \hat{\hat{\Omega}}_i $ ，然後根據這些找到REF $ 500 $ 估計。這將導致兩個邊界，一個用於(i)，一個用於(ii)。
This process is repeated many times.4)重複步驟2)至3) $ N $ 時間，在每一步都儲存您在3)中計算的 MVO 和 REF 邊界權重矩陣（這是一個權重矩陣，因為它是沿邊界每個點的一組向量）。這將導致 $ N $ MVO 的權重矩陣，其中每個 $ n \in {1,…,N{ $ 是其中一種模擬的結果2) $ \rightarrow $ 3)。REF 也是如此。
In each of the simulations of MV and RE optimized frontiers, the referee uses the true risk-return values to score the actual risks and returns of the optimized portfolios.***5)***對於每個 $ n \in {1,…,N} $ ，我們有權重矩陣 $ nw{RE} $ 和 $ nw{MV} $ . 服用 $ nw{{RE},i} $ 作為權重矩陣中的一個向量 $ nw{RE} $ ， 尋找 $ nw{{RE},i}’ \mu $ 和 $ nw{{RE},i}’ \Omega_nw_{{RE},i} $ 對於每個 $ i $ . 這將產生一個圖表 $ (\sigma,\mathbb{E}r) $ 空間。做同樣的事情 $ nw{{MV},i} \forall i \forall n $ .
The averaged results of the simulation study are displayed in Exhibit 6.3. The upper dotted curves display the in-sample averaged MV and RE frontiers that were submitted to the referee for scoring. The higher dotted curve is the MV efficient frontier; the lower dotted curve is the REF. The portfolios are plotted based on the simulated risks and returns. However, the referee knows the true risks and returns for each simulated optimized portfolio. The bottom solid curves in Exhibit 6.3 display the average of the true, out-of-sample, risks and returns of the optimized portfolios. The higher solid curve represents the RE optimized results, the lower solid curve the Markowitz optimized results.![]](https://i.stack.imgur.com/qilfS.png)
***6)巨大的混亂。這些“
average results”是什麼？我猜他們做了每個的未加權平均值 $ (\sigma,\mathbb{E}r) $ 結果（對所有 $ N $ ) 在步驟5)中用於兩種方法，然後繪製兩個邊界。然而，這個 OOS/in-sample 業務是什麼？步驟1)到5)***是否會導致 OOS 邊界？樣本內邊界是從真實計算得出的標準 REF 和 MVO $ \mu $ 和 $ \Omega $ ?這是 Michaud 和 Michaud 在 2008 年論文“ESTIMATION ERROR AND PORTFOLIO OPTIMIZATION: A RESAMPLING SOLUTION”中的另一種解釋。
Following Jobson and Korkie (1981) and Michaud (1998, Ch. 6), we perform a simulation test to compare RE vs. MV optimization. In a simulation test, a referee is assumed to know the true values of asset risks and returns. The 20 stock risk-return data, shown in the Appendix, serves as the “truth” in our simulation experiments. The referee creates a simulated history and provides returns that are statistically consistent with the true risk-return estimates. These returns can either be thought of as historical observations of a stationary return distribution, or a number of noisy estimates of next period’s return. The Markowitz and RE investors compute their efficient portfolios based on the referee’s supplied returns. The referee uses the true risk-return values to score the optimized portfolios. Figure 4 gives the average of the results after many simulation tests.
The curves displayed in Figure 4 represent the averaged results from the simulation test. The left-hand panel displays the average MV and RE efficient frontiers computed from the referee’s returns, the portfolios that were submitted to the referee for scoring. The higher (red) dotted curve is the MV efficient frontier; the lower (blue) dotted curve is the REF. The left-hand panel represents what the Markowitz and RE investors see on average given the referee’s data. The right-hand panel of Figure 4 illustrates the average results of how the submitted efficient frontier portfolios performed when the referee applied the true risk-returns. The higher (blue) solid curve represents the RE optimizer results; the lower (red) solid curve the Markowitz optimizer results. The right-hand panel of Figure 4 shows that the RE optimizer, on average, achieves roughly the same return with less risk, or alternatively more return with the same level of risk, relative to the Markowitz optimizer.
在直接回答您的問題之前，我想簡要重申重採樣有效邊界的概念：
經典均值變異數優化的問題之一是（即使多元正態假設成立）您無法估計 $ \mu $ 和 $ \Omega $ （通常表示為 $ \Sigma $ ） 確切地。這就是為什麼你會產生估計錯誤 $ \hat{\mu}-\mu $ 和 $ \hat{\Omega}-\Omega $ 當您偏離“人口手段”時。這個錯誤會極大地改變你的投資組合（因為 MVO 通常不是很健壯）。所以這個想法是估計 $ \mu $ 和 $ \Omega $ 以結束 $ \hat{\mu} $ 和 $ \hat{\Omega} $ 並從 $ \text{MVN}(\hat{\mu},\hat{\Omega}) $ 分配。從所有這些樣本中，計算有效邊界和最優投資組合。可再生能源前沿和可再生能源最優投資組合將是它們的平均值。
這種方法是一種引導方法（您會奇怪地獲得資訊以增加不確定性）。
另一個很好的思考方式是（在這裡我引用你提到的論文）：“每個模擬的 MV 有效邊界
$$ … $$是給定一組投入的正確投資方式。但是輸入是高度不確定的。投資者應該如何處理投資組合最優性的不確定性？” 答案是：人們應該使用 REF 來獲得一個次優的（對於一組估計的參數）投資組合，該投資組合更容易出現估計錯誤，因此應該產生比單獨估計更好的投資組合。（請看您提到的論文中的圖 4！）
至於您的問題，您在第 3 步之前一切都正確。）：
3.) 我不知道你說的期貨是什麼意思。我會稱它們為資產。你應該做的是接受你的價值觀 $ \hat{\mu} $ 和 $ \hat{\Omega} $ 併計算 RE 邊界。為此，您從 $ \text{MVN}(\hat{\mu},\hat{\Omega}) $ ，對它們中的每一個進行 MV 優化併計算均值（優化後的 pf 和邊界）。
4.）如你所說，重複這些步驟幾次。
5.) 你就在這裡。只是“得分”所有的投資組合（我想你的意思是 $ \Omega $ 代替 $ \Omega_n $ ).
6.) 該圖顯示了樣本內和样本外的平均有效邊界。樣本內：您將所有 MV 有效邊界用於 $ \hat{\mu} $ 和 $ \hat{\Omega} $ 並建立平均值。這為您提供了“經典樣本內”曲線。計算相同參數的 REF 的平均值可為您提供“REF 樣本內”有效邊界。在圖表中，這意味著如果您將採樣參數的平均值視為真實總體參數，則 MV 有效邊界始終高於重採樣有效邊界。樣本外：您採用所有計算的 MV 和 REF 權重，但現在您計算相對於真實總體參數的有效邊界 $ \mu $ 和 $ \Omega $ . 當然（因為它們對於另一個參數集是最優的）這個有效邊界低於它們的樣本內對應物。現在重要的一點是：MV 有效邊界現在不如 REF。這就是引導技術的全部意義所在。
希望對你有所啟發。