VaR的非可加性
我一直在閱讀有關 VaR 的內容，並且對 subadditivity 概念感到非常困惑。
在維基百科上，它說*“VaR 不是次加性的：組合投資組合的 VaR 可能大於其組成部分的 VaR 之和。”*
但是，當我閱讀 John Hull 的期權、期貨和其他衍生品時，它有以下範例談論 VaR 多元化的好處：
微軟股票投資組合的 10 天 99% VaR 為 1,473,621 美元。
AT&T 股票投資組合的 10 天 99% VaR 為 368,405 美元。
微軟和 AT&T 股票投資組合的 10 天 99% VaR 為 1,622,657 美元。
金額 (1,473,621+368,405) - 1,622,657 = $219,369
所以我的困惑是，在這種情況下，投資組合 VaR 是否小於單個 VaR 的總和？看起來它在這裡是次加性的。那麼衝突從何而來？提前致謝。
VaR 通常不是次加性的。
依靠 Mark Joshi 的評論，在某些特殊情況下是可以的。這種情況發生在包含橢圓分佈風險因素的投資組合中。當然，正態分佈屬於橢圓分佈家族。
後者有助於分析 VaR 建模，因為橢圓模型通常是股票或外匯回報等工具的合理近似值。然後可以應用子加性屬性。
子可加性失敗的簡單範例
假設有四種可能的結果 $ i=1,2,3,4 $ 以相等的機率發生 $ \frac{1}{4} $ . 回報 $ X $ , $ Y $ ， 和 $ X + Y $ 由以下給出：
$$ X = \begin{bmatrix}-1\0\1\2 \end{bmatrix} \quad Y = \begin{bmatrix}0\-1\1\2 \end{bmatrix} \quad X + Y = \begin{bmatrix}-1\-1\2\4 \end{bmatrix} $$ 每個的 75%風險值 (VAR)是多少？
- $ \operatorname{VAR}(X, .75) = 0 $
- $ \operatorname{VAR}(Y, .75) = 0 $
- $ \operatorname{VAR}(X+Y, .75) = 1 $
使其明確：
風險價值 (VAR) 在數學上可以定義為：
$$ \operatorname{VAR}\left(X, \alpha \right) = -\sup_x \left{ x \in \mathbb{R} : P(X < x ) \leq 1 -\alpha \right} $$
- 該組 $ x \in \mathbb{R} $ 在哪裡 $ P(X<x) \leq .25 $ 是開集 $ (-\infty, 0) $ .
- 該集合的最小上界為 0，因此上界為 0，且 75% 的 VAR $ X $ 為 0。
- 該組 $ x \in \mathbb{R} $ 在哪裡 $ P(X + Y < x) \leq .25 $ 是開集 $ (-\infty, -1) $ .
- 該集合的最小上界為 -1，因此上界為 -1，且 75% 的 VAR $ X+Y $ 是 1。