優化：因子模型與逐資產模型
在投資組合管理中，通常必須解決二次形式的問題
$$ w^T \Sigma w + w^T c \rightarrow \min_{\omega} $$ 具有投資組合權重 $ w \in \mathbb{R}^N $ 一個常數 $ c \in \mathbb{R}^N $ 和共變異數矩陣 $ \Sigma \in \mathbb{R}^{N \times N} $ . 此外，我們假設現實世界的連續和二元（例如基數）約束。 用於估計共變異數矩陣 $ \Sigma $ 例如，我們可以使用所有資產回報的樣本共變異數——我們稱之為逐資產模型。眾所周知，如果 $ N $ 很大等等，但這不是這個問題的重點。
另一方面，我們可以定義因素 $ (F_k)_{k=1}^K $ 和 $ K<N $ . 這些因素有一個共變異數矩陣 $ \Sigma_F \in \mathbb{R}^{K \times K} $ . 表示 $ r_i $ 資產返還 $ i $ 和 $ i = 1, \ldots, N $ ，我們可以寫：
$$ r_i = \sum_{k=1}^K e_{i,k} F_k + \epsilon_i, $$ 意味著收益的變化由風險敞口描述 $ e_{i,k} $ 因素和一些純粹的特殊風險 $ \epsilon_i $ . 在這種情況下，收益的共變異數矩陣由下式給出 $$ \hat{\Sigma} = e \Sigma_F e^T + \mathop{diag}(Var[\epsilon_1],\ldots,Var[\epsilon_N]), $$ 在哪裡 $ e \in \mathbb{R}^{N \times K} $ 是所有曝光的矩陣，“診斷”部分在主對角線上添加了變異數的特殊部分。注意 $ \hat{\Sigma} \in \mathbb{R}^{N \times N} $ . 我有時會讀到共變異數矩陣的問題 $ \hat{\Sigma} $ 從因子模型更容易解決比 $ \Sigma $ . 這是真的？如果是，那麼我們怎麼能看到這一點？到目前為止，我個人的回答是：不。因為兩者都是 $ N \times N $ 矩陣和結構通常沒有幫助。
特別是如果這些因素不是正交的——我們會得到什麼？如果這些因素來自 PCA，那麼我們可能會有所收穫，但我想知道我們需要多少 PC，例如在全球股票投資組合中……
幾點。
首先，在一個典型的因子模型中，特質部分（你所說的 $ Var[\epsilon_k] $ ) 是不可忽略的，這會導致 $ \hat\Sigma $ 這將是良好的條件。從數值上看，這是非常方便的。共變異數矩陣的條件越好，優化程序就越不容易受到舍入誤差的影響。
二、可以引入變數 $ l_1, …, l_K $ 有約束 $ \sum_{i=1}^N e_{i,j} w_i = l_j $ 然後與 $ \Sigma_F $ 直接在優化的公式中，而不是使用完整的 $ N\times N $ 共變異數矩陣。
第三，從投資組合優化的角度來看，我們不關心這些因素是否正交。我們可以將它們旋轉為正交。只要 $ \Sigma_F $ 是正定的，我們可以使用 Cholesky 分解將其寫為 $ LL^T = \Sigma_F $ 然後替換載入矩陣 $ e $ 有一個旋轉的 $ \tilde e =eL $ 所以現在這些因素是正交的。那是
$$ e\Sigma_Fe^T = eLL^Te^T = \tilde e \tilde e^T. $$