優化風險為目標預期缺口的投資組合
我想最大化a的回報 $ n $ - 已知風險下的資產組合： $$ \max_{{w \in \mathbb{R}^{n}|w_{1}+…+w_{n}=1}} ; \mathbb{E}\left[\sum_{i=1}^{n}w_{i}R_{i}\right] $$ 在約束下 $$ ES\left(\sum_{i=1}^{n}w_{i}R_{i}\right) \le r $$ 在哪裡 $ ES $ 是預期缺口，也稱為條件風險價值 (CVaR)（在某種程度上 $ \alpha $ ） 和 $ r $ 是期望的風險水平。
$ R_{i} $ 表示資產的回報 $ i $ 並且被認為是一個離散隨機變數，包括 $ m $ 情景。
不幸的是，由於預期不足的性質，這是一種非線性優化。另外，我無法計算梯度wrt $ w $ 對於預期的不足，因此將梯度納入優化也是不可能的。我怎樣才能有效地實施這種優化？
回想一下，水平的預期缺口 $ \alpha $ 是較低的平均投資組合價值 $ \alpha $ 所有可能的投資組合價值的百分比分位數。
這個問題可以通過線性規劃有效地解決。
（在我看來）比 Noob2 提供的 Rockafeller 的 Uryasev 的原始論文更好的參考是 Pavlo Krokhmal、Jonas Palmquist 和 Stanislav Uryasev 在 The Journal of Risk 中的“具有條件風險目標和約束條件的投資組合優化” , V. 4, # 2, 2002, 11-27。它可以在這裡找到。
基本思想依賴於觀察，而不是控制條件 $ \text{ES}_\alpha(\sum w_i R_i) $ 直接，可以定義一個輔助函式（loc.cit.公式（4））：
$$ F_\alpha(w, \zeta) = \zeta + \frac{1}{1 - \alpha}\text{E}\left[\max\left(\sum w_i R_i - \zeta, 0\right)\right]. $$
關於美好的事情 $ F $ 在他們的定理 1 中陳述：
- $ F $ 是凸的並且 $ C^1 $
- 最小的 $ F $ 關於 $ \zeta $ 是級別的 ES $ \alpha $ .
可行和不可行之間的界限在優化中不是線性與非線性，而是凸與非凸。這是一個很好的例子。然後，作者在第 7 節中展示了一個範例，該範例幾乎可以在精神上涵蓋您的問題。