投資組合風險分解 - 不同的方法
我知道有幾種方法可以分解資產組合中的風險貢獻（無論是變異數、標準偏差等）。例如，這篇文章中的回复表明沒有一種“正確”的方式來分配投資組合中的風險。我最熟悉利用歐拉定理（即加權邊際貢獻）的方法。
我的主要問題是：還有哪些其他方法？這些方法的主要區別是什麼？它是否源於共變異數項的共享方式？
例如，假設我對投資組合進行四因子回歸併得到 100% 的 R 平方（即，消除任何剩餘風險）。然後，我可以獲取 beta 和歷史共變異數，並分解這些因素對該投資組合的風險貢獻。相關地，是否有人熟悉使用平均排序方法將各種因素的 R 平方貢獻分解為風險分解的一種形式（即變異分解）？這可以通過relaimpo 包（特別是方法 LMG）在 R 中獲得，並在本文中討論. 有沒有辦法調和這些不同的方法？Euler 方法可以指示對風險的負面貢獻，而這種平均排序方法則不能。可以為每種方法背後的直覺提出論據，所以我只是想知道如何最好地協調它們。
謝謝！
不同的投資組合風險分解回答不同的問題。在討論使用什麼方法之前，首先詢問您為什麼要進行分解以及您使用的風險定義是什麼。
研究投資組合收益波動性如何受投資組合權重的微小變化影響的重點是什麼？另一方面，如果關鍵是要發表“我們 30% 的風險來自中國”之類的聲明，那就很成問題了，因為風險不是累加的。
在同一頁面上的快速定義
讓 $ \mathbf{R} $ 是表示超額收益（即超過無風險利率）的隨機變數向量，並讓 $ \mathbf{w} $ 是表示投資組合中權重的向量。（權重不需要總和為 1，因為我們有超額收益：1 - $ \sum w_i $ 是對無風險利率的隱含權重。）
$$ R_p = \mathbf{w}’ \mathbf{R} = \sum_i w_i R_i $$ 讓 $ \Sigma = \operatorname{Cov}(\mathbf{R}) $ 是收益向量的共變異數矩陣。作為投資組合權重函式的投資組合收益的標準差由下式給出 $ \sigma(R_p)(\mathbf{w}) = \sqrt{ \mathbf{w}’ \Sigma \mathbf{w} } $ .
措施一： $ \frac{\partial \sigma}{\partial \mathbf{w}} $
一種標準分解是簡單地查看對投資組合標準差的邊際貢獻：
$$ \frac{\partial \sigma}{\partial \mathbf{w}} = \frac{1}{\sigma}\Sigma\mathbf{w} $$
措施2： $ \mathbf{w} \circ \frac{\partial \sigma}{\partial \mathbf{w}} $
根據歐拉齊次函式定理，我們有：
$$ \sum_i w_i \frac{\partial \sigma}{\partial w_i} = \sigma(\mathbf{w}) $$ 這仍然是一個邊際措施。（例如，要查看這一點，請檢查如果投資組合有兩種資產彼此接近完美對沖，情況如何。）
還要注意 $ \frac{\partial \sigma}{\partial \log w_i} = w_i \frac{\partial \sigma}{\partial w_i} $ ， 因此 $ w_i \frac{\partial \sigma}{\partial w_i} $ 告訴您投資組合頭寸發生微小百分比變化時標準差會發生多少變化。例如。如果我將權重從 0.02 增加到 0.0202 1%，投資組合收益的標準差會發生什麼變化？
與上述相同，但使用因子權重而不是證券權重
讓 $ f_1, \ldots, f_k $ 是零成本投資組合回報（又名因素）。讓 $ \Sigma^{(f)} $ 是共變異數矩陣。我們可以做與上面相同類型的數學，其中 $ \beta $ s 表示因子的權重，而不是單個證券的權重。我們也有差異 $ \epsilon $ 項與因子正交。
$$ R_p = \beta_1 F_1 + \beta_2 F_2 + \ldots \beta_k F_k + \epsilon $$ $$ \mathbb{V}(R_p) = \mathbb{V}(\epsilon) + \sum_{ij} \beta_i \beta_j \mathbb{Cov}(F_i, F_j) $$
正交因子：與上述相同，但如果因子是正交的（即不相關）
因為超額收益 $ R_i $ 和 $ R_j $ 幾乎可以肯定是相關的，投資組合收益的變異數不僅僅是變異數的總和。
$$ \mathbb{V}(R_p) = \mathbf{w}’ \Sigma \mathbf{w} = \sum_{ij} w_i w_j \Sigma_{ij} $$ 和 $ n $ 證券，你有 $ n $ 變異數項 $ n(n-1) $ $ \Sigma_{i\neq j} $ 共變異數項。另一方面，如果你對正交隨機變數有權重，那麼你會得到一個勾股定理類型的結果，並且總和的變異數是變異數的總和。這種分解變得更加清晰，因為所有共變異數項都為零。
$$ \mathbb{V}(R_p) = \mathbb{V}(\epsilon) + \sum_{i} \beta_i^2 \mathbb{V}(F_i) $$ 使用正交因子，您可以將投資組合變異數簡單地寫為源自每個單獨因子的變異數之和（因為從某種意義上說，因子之間沒有統計互動作用）。
（注意：投資組合必須專門建構以獲得正交回報）
平均超訂購方法
如前所述，如果您有 $ n $ 證券，你沒有得到一個乾淨的，線性分解成 $ n $ 由於所有共變異數項的成分：你有一個總和 $ \frac{n(n-1)}{2} $ 共變異數項。
另一個可能要做的事情是通過查看在不同排序上平均的邊際變異數（來自添加位置）來獲得一些重要性概念。例如。在兩個返回案例中看：
- 首先添加安全 1。 $ \mathbb{V}(w_1 R_1) = w_1^2 \Sigma_{11} $ 和
- 添加安全 1 秒。 $ \mathbb{V}(w_1 R_1 + w_2 R_2) - \mathbb{V}(w_2 R_2) = w_1^2 \Sigma_{11} + 2 w_1 w_2 \Sigma_{12} $
然後將這兩個排序平均在一起得到：
$$ w_1^2 \Sigma_{11} + w_1 w_2 \Sigma_{12} $$ 這個度量可能有一些不錯的屬性，但在某種意義上它有點抽象。
一個警告
需要注意的是，不成熟的人可能想說我們的風險有 20% 來自中國，80% 來自北美。但是除非每個區域在統計上是獨立的（他們肯定不是），否則這種說法永遠不會真正有意義。職位互動！你有中國和北美之間的共變異數項。
無論如何，我認為你需要問和回答的第一個問題是我為什麼要嘗試分解風險？我想回答什麼問題？