最大化資訊比率的投資組合權重（尋找阿爾法）
在尋找 Alphas的第 1 章，Alpha 設計簡介中，作者指出：
alpha 可以表示為按時間索引的證券和頭寸矩陣。矩陣的值對應於該特定股票在特定日期的頭寸。股票頭寸每天都在變化；每日變化在證券市場上交易。阿爾法產生回報，回報具有可變性。收益與收益的標準差（可變性）之比是 alpha 的資訊比率。碰巧的是，當阿爾法股票頭寸與該股票的預測收益成正比時，阿爾法的資訊比率最大化。
我的重點補充說。提供此聲明沒有證據。我覺得有一個 Grinold-Kahn 風格的證明，但我找不到它。如何證明這一主張？
**免責聲明：**我沒有這些書，我不確定作者想說什麼。
這聽起來有點像馬科維茨投資組合理論應用於相對於某個基準而不是相對於無風險利率的回報？
經典 Markowitz 投資組合理論的複習。
我將使用粗體字母來表示向量。 $ \boldsymbol{R} $ 是一個隨機向量，表示風險資產的回報，並且 $ r_f $ 是無風險利率。
- 定義 $ \boldsymbol{\mu}_f = \operatorname{E}[\boldsymbol{R} - r_f] $
- 定義共變異數矩陣 $ \boldsymbol{\Sigma}_f = \operatorname{Var}(\boldsymbol{R} - r_f) $
切線投資組合的投資組合權重，即夏普比率最高的投資組合，由下式給出：
$$ \mathbf{w} = \left( \frac{1}{\boldsymbol{1}’ \boldsymbol{\Sigma}_f^{-1} \boldsymbol{\mu}_f}\right)\boldsymbol{\Sigma}_f^{-1} \boldsymbol{\mu}_f $$ 例如，參見推導here。
猜測這本書試圖談論什麼？
我沒有這本書，這是基於那篇短文的大量推斷。
- 讓 $ R_b $ 是一個隨機變數，表示某個基準的回報 $ b $ .
- 作者可能不是在Jensen 的 alpha意義上（或隨機折扣因子 alpha意義上）使用 alpha，而是在某個基準之上呼叫回報 $ \boldsymbol{R} - R_b $ α？
- 資訊比率 $ \frac{\operatorname{E}[R_a - R_b]}{\operatorname{Var}(R_a - R_b)} $ 只是相對於某些基準的夏普比率 $ R_b $ 而不是無風險利率 $ r_f $ .
- 定義 $ \boldsymbol{\mu}_b = \operatorname{E}[\boldsymbol{R} - R_b] $ 和 $ \boldsymbol{\Sigma}_b = \operatorname{Var}(\boldsymbol{R} - R_b) $ . 那麼最大資訊比率投資組合的投資組合權重將相同 $ \mathbf{w} = \left( \frac{1}{\boldsymbol{1}’ \boldsymbol{\Sigma}_b^{-1} \boldsymbol{\mu}_b}\right)\boldsymbol{\Sigma}_b^{-1} \boldsymbol{\mu}_b $ .
投資組合權重與 $ \boldsymbol{\mu}_b $ 儘管。它們不是標量 $ \lambda $ 次 $ \boldsymbol{\mu}_b $ . 您應用線性變換 $ \left( \frac{1}{\boldsymbol{1}’ \boldsymbol{\Sigma}_b^{-1} \boldsymbol{\mu}_b}\right)\boldsymbol{\Sigma}_b^{-1} $ 至 $ \boldsymbol{\mu}_b $ .