包含大量子投資組合的投資組合
客戶經理有 $ N $ 不同的，大小相同的錢罐，將用於製造 $ N $ 不同的子投資組合，每個子投資組合都來自一組略有不同（但可能重疊）的潛在資產。
整個問題中所有資產的收益率都包含在向量中 $ \textbf{R} $ :
$ \textbf{R}= \begin{pmatrix} R_1 \ R_2 \ \vdots \ R_I \end{pmatrix} $
每個資產的回報率是正態分佈的隨機變數。
每個子組合 $ n=1,2,…,N $ 分配投資權重，用向量表示 $ x_n $ , 對其特定集合中的不同資產 $ K $ 潛在資產，位於向量內的分散位置 $ \textbf{R} $ . （每個子投資組合的“可投資領域”不是隨機的。每個子投資組合可用的資產非常具體，但它們不一定聚集在向量的同一區域 $ \textbf{R} $ .)
$ \textbf{x}_n= \begin{pmatrix} x_1 \ x_2 \ \vdots \ x_K \end{pmatrix} $
每個子投資組合中的權重之和必須為 1。即，其中 $ \textbf{1} $ 是 1s 的 K×1 向量：
$ \textbf{x}_n\textbf{1}=x_1+x_2+…+x_K=1 $
屬於子投資組合的特定資產的收益率 $ n $ 可以在另一個向量中列出， $ \textbf{R}_n $ .
變異數-共變異數矩陣 $ \textbf{C} $ 包含與每項資產相關的所有變異數以及它們之間的收益共變異數。經理只對整個投資組合的預期收益和變異數感興趣。如果某些子投資組合為了整個投資組合的更大利益而受苦，那就這樣吧。
如果你能把所有的子投資組合向量 $ \textbf{x}_n $ 成單個權重向量 $ \textbf{X} $ （包含整個子投資組合的所有投資），我認為整個投資組合的變異數為 $ \sigma^2_p=\textbf{X}’\textbf{C}\textbf{X} $ .
考慮到不同資產之間的共變異數等，我想知道您將如何為客戶經理解決如何在每個子投資組合中分配其投資的優化問題。如果這些資產都高度相關，那麼將他們所有的投資都放在每個子投資組合中具有最高預期回報的資產上可能是一個糟糕的舉動！
您是否會簡單地將其設置為具有大量約束的拉格朗日乘數問題，每個約束都指定每個子投資組合可用的“可投資領域”？我不確定從哪裡開始，所以任何關於這類問題的建議都會非常感激。謝謝！
一種方法如下（如果您使用正確的軟體，您可以對所有這些約束進行編碼，我正在使用mathematica 做這些事情）
- 你定義 $ w_{i,j} $ 這是資產的權重 $ j $ 在子組合中 $ i $ ，此外你定義 $ w =(w_j)_{j=1}^{\text{no of assets}} $ 資產組合的總權重 $ j $ .
- 優化的對像是總投資組合變異數 $ w^T \Sigma w $ 和總預期回報 $ w^T \mu $ .
- 你定義了一堆約束。你需要的那些和宇宙的限制 $$ w_{i,j} = 0 $$ 如果資產 $ j $ 子組合中不允許 $ i $ , 每個資產的總權重約束 $ j $ : $$ \sum_{i=1}^{\text{no of portfolios}} w_{i,j} - w_j = 0 $$ 這只是一個線性約束。每個子組合的預算 $ i $ $$ \sum_{j=1}^{\text{no of assets}} w_{i,j} = \text{total fraction of subportfolio}. $$
因此，您有很多變數：數字資產乘以數字子投資組合 + 數字資產。只有資產中的總權重進入目標函式。其他一切都是在巧妙的約束下完成的。