複製自籌資金組合以進行風險中性測量
讓價格過程 $ S_{t}, 0 \leq t \leq T $ , 是一個擴散, 儲蓄賬戶是 $ \beta_{t} $ 這樣等價鞅測度 $ Q $ 存在。讓 $ C_{T}=g\left(X_{T}\right) $ 成為當時的主張 $ T $ , 對於有界函式 $ g $ . 證明這個主張是可以實現的，並為這個主張找到一個可複制的自籌資金組合。
我的嘗試：
索賠是可以實現的 $ \frac{S_t}{\beta_{t}} $ 是一個 $ Q $ -martingale 並且存在可接受的策略。所以 $ \frac{V(t)}{\beta(t)} $ 也是一個 Q 鞅。
自我複制投資組合可以找到 $ V_{t}=a_{t} s_{t}+b_{t} e^{r t} $
$ d V_{t}=a_{t} d s_{t}+r b_{t} e^{r t} d t $ 是自籌資金。
讓 $ \left.b_{t}=\left(V_{t}-a_{t} s_{t}\right)\right) e^{-r t} $ 那麼我們有
$ d v_{t}=a_{t} d s_{t}+r\left(V_{t}-a_{t} s_{t}\right) d t $
$ d V_{t}=a_{t} d s_{t}+r V_{t} d t-r a_{t} s_{t} d t $
我不確定如何進一步解決這個問題。
使用 EMM $ Q $ ， 聯繫 $ Q $ -布朗運動 $ W $ , 過濾 $ {\cal F} $ ， 和
$$ d\beta_t = r_t \beta_t dt, ; \beta_t ={\rm e}^{\int_0^t r_u du}, $$
考慮鞅：
$$ M_t =E\left[{\rm e}^{-\int_0^T r_u du} C_T | {\cal F}_t\right]. $$
由鞅表示定理，有一個過程 $ N_t $ 這樣
$$ M_t = M_0 + \int_0^t N_u dW_u, $$
在哪裡$$ M_0=E\left[{\rm e}^{-\int_0^T r_u du} C_T\right]. $$
給定
$$ d(\beta_t^{-1} S_t) = \sigma_t \beta_t^{-1} S_tdW_t $$
在下面 $ Q $ ， 我們有：
$$ dM_t = N_t dW_t = a_t \sigma_t \beta_t^{-1} S_t dW_t = a_t d(\beta_t^{-1} S_t) $$
為了 $ a_t $ 被選為
$$ a_t := \frac{N_t\beta_t}{\sigma_t S_t }. $$
戰略 $ a_t $ 和 $ b_t:= \beta_t^{-1}(M_t-a_tS_t) $
$$ \Pi_t := b_t\cdot \beta_t + a_t \cdot S_t = \beta_t M_t $$
是可接受的（根據 $ Q $ , $ \beta_t^{-1}\Pi_t $ 是鞅）和自籌資金為
$$ d(\beta_t^{-1}\Pi_t) = dM_t = a_t d(\beta_t^{-1} S_t). $$
我們還注意到：
$$ \Pi_T = \beta_T M_T = C_T. $$