投資組合管理
投資組合樣本變異數
讓 $ w $ 表示投資組合權重的向量， $ r_i $ 表示 $ i $ 返迴向量， $ \Sigma $ 表示共變異數矩陣 $ r_i $ 然後讓 $ \hat{\Sigma} $ 表示樣本共變異數矩陣 $ r_i $ .
投資組合變異數由下式給出 $$ \mathbf{Var}\left( w’ r_i\right) = w’ \mathbf{Var}\left( r_i\right) w = w’ \Sigma w. $$ 它是否適用於樣本投資組合變異數 $$ \widehat{\mathbf{Var}}\left( w’ r_i\right) = w’ \widehat{\mathbf{Var}}\left( r_i\right) w = w’ \hat{\Sigma} w? $$
確實是的。這是一個簡單的線性代數和期望結果：
鑑於：
$ Var(w’r) = \mathbb{E}[(w’r)^2] = \mathbb{E}[(w’rr’w)] $
和 $ w $ 和 $ r $ 權重和回報的向量。作為 $ w $ 是常數，它成立：
$ \mathbb{E}[w’rr’w] = w’\mathbb{E}[rr’]w $
樣本變異數， $ \hat{\Sigma} $ , 是 for 的估計量 $ \mathbb{E}[rr’] $ . 因此，它擁有您所說的內容。