半變異數計算（下行偏差）
半變異數的準確公式是什麼？到目前為止，我看到了兩個版本：
- 這個版本將所有高於/低於平均值的數字或任何其他數字視為*N （分母）。*這與 CFA 的版本相同（書：投資分析的定量方法 - 2004 年第 136 頁）。這是公式：
- 另一個版本（在另一本 CFA 的書中陳述）顯示了不同的公式。這是公式（取自另一個來源）：
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第一個區別在於分子（即“a”、“b”之間的最小值），第二個區別在於分母（其中N覆蓋整個樣本）。
哪一個是正確的，為什麼？我想在 Sortino 比率中使用它
PD：此外，我發現這條其他評論總結了我的意思（連結）：
ShaktiRathore 據我了解，下行偏差（即，Sortino 中的分母）不包括零；即，當 PMAR 時，這些正超額值被排除，不被視為零。雖然我已經理解這是符合 GIPS 的方法（當時我參加 CIPM，但這是幾年前的事了……），這似乎是有爭議的……
非常感謝！
我對半變異數感興趣，因為我想用它來計算 Sortino 比率。我發現一篇關於 Sortino 的文章回答了我的問題。這是連結“Sortino ratio: A better measure of risk, by Tom Rollinger 和 Scott Hoffman”，Futures Magazine 2013。
在本文中，Sortino 比率定義為
$$ SR=\frac{R-T}{TDD} $$ 其中 R 是平均期間回報率，T 是目標或要求的回報率，TDD 是目標下行偏差，它被發現為 $$ TDD=\sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i-1}^N[\min(0,X_i-T)]^2} $$ 從實際的角度來看，計算必須考慮所有數據（用零代替高於或等於目標的值），而不僅僅是低於目標的觀察值。因此，當目標上方有許多觀測值時，Sortino 比率將返回比夏普比率更高的值。如果您考慮減少樣本（不包括分母中的零），Sortino 將低於 Sharpe，這不是這個比率的概念。
“Sortino 比率考慮了低於目標回報的頻率以及它們的幅度。丟棄零表現不佳的數據點消除了該比率對錶現不佳頻率的敏感性。”
連結中的範例：
“考慮以下表現不佳的回報流：
[0, 0, 0, –10]和[–10, –10, –10, –10]。丟棄零個表現不佳的數據點會導致兩個回報流的目標下行偏差相同，但顯然第一個回報流的下行風險比第二個小得多。”因此，我不應該丟棄任何零，因為我將減少數據，這導致 Sortino 比 Sharpe 比率低。
最後，我想指出的是，我發現了使用第一種方法（丟棄零）計算半變異數的論文和書籍（一個來自 CFA）。所以我認為圍繞它的混亂仍然存在。