具有槓桿作用的投資組合模型的風險價值
我的模型： 假設我想建構一個投資組合，以便最大化我的預期回報，同時保持我的風險（以風險價值衡量）低於我的風險目標。
$$ \max \sum x_i \mu_i \ VaR_{0.05} \leq \text{RiskTarget} \ \sum x_i = W \text{, (wealth)} $$ 現在假設我可以將我的投資提高到因子 $ k $ 所以我添加 $$ \max \sum x_i \mu_i -rB \ VaR \leq \text{Risk Target} \ \sum x_i = W+B \ B\leq Wk $$
我的風險價值基於 500 個情景，我的 5% VaR 是我潛在 PnL 向量中第 10 低觀察值的絕對值。說有 $ m $ 我可以投資的不同資產。 $ x_i $ 是資產的價值 $ i $ 在我的投資組合中，而不是股票數量。
我的發現： 當我嘗試這個模型時，即使在低利率下，我也得到了或多或少相同的結果。那是因為我的風險價值是一個絕對的風險衡量標準，如果我購買 $ k $ 是我的 VaR 以相同因素大致增加的倍數，而我的風險目標不允許這樣做。
我的問題： 既然借款已經進入模型，我是否應該以不同的方式計算 VaR？
換句話說：鑑於我的 500 個場景（ $ R^{250 \times m } $ 矩陣）我應該如何計算給定投資組合的 500 個可能結果： $ X={x_1,x_2,…,x_m} $
您需要將藉貸成本考慮在內（目前的低利率會有所幫助，因此您可能還需要檢查更高的利率）。由於您從場景中計算 VaR，這會將 VaR 推向左側（就回報而言，即變得更糟）。
關鍵問題是您的風險預算是否能夠承受 VaR 的這種增加，而 VaR 也會隨著您的槓桿係數而上升。
在任何情況下，我都會謹慎地將投資基於從僅包含 500 個場景的訂單統計中計算出來的 VaR 數。（順便說一句，第 10 個最小的回報是 2% 的 VaR。） 一個例子：假設投資組合回報是正態分佈的（即好的情況），你查看了每日回報/VaR。這些每日回報的標準差是 1%。如果我從這樣的分佈中抽取 500 個回報樣本，訂單統計數據會有很大差異。在 R 中，你可以說
range(replicate(20000, sort(rnorm(500, sd = 0.01))[10])) ## [1] -0.02667598 -0.01523161因此，當您使用來自同一分佈的不同場景多次重複優化時，我預計會有顯著不同的位置。您可能需要考慮增加情景的數量，或使用替代（參數/半參數）方法來計算 VaR。論文 The Hidden Risks of Optimizing Bond Portfolios under VaR解釋了其中的一些問題。