完美對沖的價值
背景資料：
投資組合當時的價格 $ t $ ( $ t = 0 ,1 $ ） 是
$$ V_t(\pi) = \phi S_t + \psi B_t $$ 投資組合 $ \pi $ 是索賠的完美對沖 $ X $ 如果 $ V_1(\pi) = X $ 作為隨機變數。 給定索賠 $ X $ ，然後有一個完美的對沖 $ \phi $ 和 $ \psi $ 必須滿足
$$ \begin{equation} \phi S_1(u) + \psi B_1 = X(u) \end{equation} $$ $$ \begin{equation} \phi S_1(d) + \psi B_2 = X(d) \end{equation} $$ 我們已經解決了這個問題 $$ \phi = \frac{X(u) - X(d)}{S_1(u) - S_1(d)} $$ $$ \psi = B_1^{-1}(X(u) - \phi S_1(u)) = B_1^{-1}(X(d) - S_1(d)) $$ 因此得到的值 $ X $ 在 $ t=0 $ 是$$ V_0(X) = V_0(\pi) = \phi S_0 + \psi B_0 $$ 問題：
讓 $ \beta = B_0 B_1^{-1} $ 是折扣因子。顯示
$$ V_0(X) = \beta\left[\left(\frac{\beta^{-1}S_0 - S_1(d)}{S_1(u) - S_1(d)}\right)X(u) + \left(\frac{S_1(u) - \beta^{-1}S_0}{S_1(u) - S_1(d)}\right)X(d)\right] $$
我現在已經嘗試了 3 次，但仍然沒有得到結果，如果您想看到我嘗試的工作，請告訴我。否則，如果有人能給我一個好的開始，那就太好了。關於一些代數技巧，一定有一些我沒有看到的東西。
使用值 $ \phi $ 和 $ \psi $ 你得出的，
$$ \begin{align*} V_0(X) &= \phi S_0 + \psi B_0\ &= \frac{X(u) - X(d)}{S_1(u) - S_1(d)} S_0 + B_1^{-1}\left(X(u) - \frac{X(u) - X(d)}{S_1(u) - S_1(d)}S_1(u)\right) B_0\ &=\beta\left(\frac{X(u) - X(d)}{S_1(u) - S_1(d)} \beta^{-1}S_0 + \frac{X(d) S_1(u) - X(u)S_1(d)}{S_1(u) - S_1(d)} \right)\ &=\beta\left(\frac{\beta^{-1}S_0 - S_1(d)}{S_1(u) - S_1(d)} X(u) + \frac{S_1(u) - \beta^{-1}S_0 }{S_1(u) - S_1(d)} X(d)\right). \end{align*} $$ 您需要將術語與 $ X(u) $ 一起，同樣適用於 $ X(d) $ .