• 所有節選均來自Bodie所著的《投資》一書。在這篇文章的底部，我附上了這本書的頁面，這些頁面顯示了我的問題的相關部分。

問題

1. 為什麼術語的變異數 $ E(r_{i}) = 0 $ ?

我們總是可以將任何證券的回報分解為其預期回報加上非預期成分的總和： $$ r_{i} = E(r_{i}) + e_{i} $$ 意外回歸的地方， $ e_{i} $ , 均值為零，標準差為 $ \sigma_{i} $ 它衡量了證券回報的不確定性。

當證券收益可以通過與證券相關的正態分佈很好地近似時，我們說它們是聯合正態分佈的。僅這一假設就意味著，在任何時候，證券回報都是由一個或多個共同變數驅動的。當多個變數驅動正態分佈的證券收益時，這些收益被稱為具有多元正態分佈。我們從一個更簡單的情況開始，其中只有一個變數驅動聯合正態分佈的收益，從而形成一個單因素證券市場。多變數情況的擴展很簡單，將在後面的章節中討論。

如果我們假設有一個公因數， $ m $ ，一個影響所有公司的未知宏觀經濟變數。然後我們可以將不確定性的來源分解為關於整個經濟的不確定性，由 m 擷取，特別是關於公司的不確定性，由 $ e_{i} $ . 在這種情況下，我們修改了上面寫的公式，以適應兩個變化源作為回報： $$ r_{i} = E(r_{i}) + m + e_{i} $$

宏觀經濟因素， $ m $ ，衡量意料之外的宏觀意外。因此，它的平均值為零（隨著時間的推移，意外將平均為零），標準差為 $ \sigma_{m} $ . 相比之下， $ e_{i} $ 僅衡量公司特定的驚喜。請注意 $ m $ 沒有下標，因為相同的公因子影響所有證券。最重要的是 $ m $ 和 $ e_{i} $ 是不相關的，也就是說，因為 $ e_{i} $ 是企業特有的，它獨立於對影響整個經濟的共同因素的衝擊。的變異數 $ r_{i} $ 因此產生於兩個不相關的來源，系統的和公司特定的。所以， $$ \sigma_{i}^2 = \sigma_{m}^2 + \sigma^2(e_{i}) $$

• 第三個等式是關於變異數的，僅當項 $ E(r_{i}) $ 為零。然而，這本書並沒有明確提到這個術語的變異數為零。

2.是方程 $ r_{i} = E(r_{i}) + m + e_{i} $ 方程的廣義形式 $ R_{i}(t) = \alpha_{i} + \beta_{i}R_{M}(t) + e_{i}(t) $ ，下面的摘錄中提到了哪個？

由於可以觀察到標準普爾 500 等市場指數的回報率，我們有大量過去的數據可以用來估計系統性風險。我們將市場指數表示為 $ M $ ，超額收益為 $ R_{M} = r_{M} - r_{f} $ , 和標準差 $ \sigma_{M} $ . 由於指數模型是線性的，我們可以使用單變數線性回歸來估計證券對指數的敏感性（或貝塔）係數。我們回歸證券的超額收益， $ R_{i}= r_{i} - r_{f} $ ，關於指數的超額收益， $ R_{M} $ . 為了估計回歸，我們收集了配對觀察的歷史樣本， $ R_{i}( t ) $ 和 $ R_{M}( t ) $ ，其中 t 表示每對觀察的日期（例如，特定月份股票和指數的超額收益）。回歸方程為 $$ R_{i}(t) = \alpha_{i} + \beta_{i}R_{M}(t) + e_{i}(t) $$

• 如果前一個方程只是比後者更通用的版本，那麼兩者有什麼區別 $ r_{i} $ 和 $ R_{i}(t) $ 在每個方程中？

以下是我有問題的頁面的摘錄。

要回答第一個問題，請記住 $$ r_i = E[r_i] + \epsilon_i + m, $$ 在哪裡 $ E[\epsilon_i] = E[m] = 0 $ 通過假設。

有了這個，我們有： $$ E[r_i] = E[E[r_i] + \epsilon_i + m] = E[r_i] $$ 正如人們所期望的那樣。要找到變異數： $$ Var(r_i) = E[(r_i - E[r_i])^2] = E[(\epsilon_i + m)^2] = E[\epsilon_i^2 + 2m\epsilon + m^2]. $$ 由此我們得到 $$ Var(r_i) = E[\epsilon_i^2] + E[m^2] + 2E[\epsilon_im] = \sigma_{\epsilon}^2 + \sigma_m^2 + 2Cov(m, \epsilon_i), $$ 最後一個相等的地方，因為 $ E[\epsilon_i] = E[m] = 0 $ . 如果你假設 $ m $ 和 $ \epsilon_i $ 不相關（或獨立），你會得到想要的結果。

關於您的第二個問題：您正在觀察您的股票特定回報與“市場”回報之間的關係。正如教科書所示，它指的是其方程（8.5）。

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/68020