計算“跨國投資組合”中的 alpha (CAPM)
假設我想計算 alpha（在 CAPM 意義上，即 $ r_i - r_f = \alpha_i + \beta_i(r_m - r_f) + \epsilon_i $ ) 的股票。所以我拿一隻股票的月收益 $ i $ 1 年。從中減去無風險利率並稱之為 $ Y_i $ . 現在我取相應的基準收益，同樣我從中減去無風險利率並稱之為 $ X_i $ . 現在，計算 $ \alpha_i $ 我對模型執行線性回歸： $ Y_i=\alpha_i + \beta_i X_i + \epsilon_i $
現在，如果我想計算 $ \alpha $ 對於在不同國家的不同交易所上市的等權重的股票投資組合（假設無風險利率相等）。然後我們有投資組合回報
$$ r_p = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}r_i = \\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(r_f + \alpha_i + \beta_i(r_m-r_f)) = \r_f + \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\alpha_i + \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\beta_i (r_m-r_f) $$ 我現在可以這麼說嗎 $ \alpha_p = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\alpha_i $ 和 $ \beta_p=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\beta_i $ ? （這裡 $ r_m $ 是每個相應資產的基準，但我沒有為此使用符號..）
此外，如果投資組合策略是在平衡前 1 年的買入並持有，並且 alpha 是每月一次，那麼以最幼稚的方式將它們年化是否安全 $ (1+\alpha)^{12}-1 $ ?
誤差項
誤差項說明了因變數的理論值和觀測值之間的差異。因此，它被稱為單一觀察。正如你所說，在你的等式中， $ i $ 代表 $ i $ -th 份額，因此意味著 $ \varepsilon_i $ 不清楚（因為它不可能是 $ i $ -th 觀察）和相關方程。也許您應該在給定的方程中添加第二個索引，例如 $ j $ ，與 $ j $ -第一次觀察。
CAPM 和阿爾法
您的問題存在一個問題，因為 CAPM 假設 alpha 為零。您的說法是微不足道的，因為許多零的平均值仍然為零，但也許這不是您想要的。
CAPM測試
可能會違反 CAPM 假設，因此可能需要測試在實際市場中股票 alpha 是否為零。當 alpha 不為零時，您可能想知道它們相對於投資組合的價值與其單一成分之間的關係是什麼。
具有線性模型的投資組合 alpha
考慮一個將投資組合與超過無風險利率的市場回報相關聯的通用線性模型：
$$ r_{pj} -r_f = \alpha_p + \beta_p (r_{mj} -r_f ) + \varepsilon_{pj} $$ 其中方程與 $ j $ - 對投資組合和市場超額收益的觀察。 相同的模型相對於 $ i $ -第一個投資組合成分是：
$$ r_{ij} -r_f = \alpha_i + \beta_i (r_{mj} -r_f ) + \varepsilon_{ij} $$ 投資組合的權重相同，因此（對於每個 $ j $ -第一次觀察） $$ \begin{align} r_{pj}=\frac{1}{n}\sum_j^n r_{ij} \tag{}\label{} \end{align} $$ 通過一些統計方法可以找到估計的阿爾法和貝塔，這是“最好的” $ \alpha_, \beta_ $ 盡量減少 $ \varepsilon $ - 理論值和觀察到的返回值之間的誤差。這通常可以解決： $$ \min_{\alpha_i,,\beta_i} \sum_{j=1}^n \hat{\varepsilon}{ij}^{,2} = \min{\alpha_i,,\beta_i} \sum_{j=1}^n \left( r_{ij} -r_f - \alpha_i - \beta_i (r_{mj} -r_f ) \right) $$ 和 $$ \min_{\alpha_p,,\beta_p} \sum_{j=1}^n \hat{\varepsilon}{pj}^{,2} = \min{\alpha_p,,\beta_p} \sum_{j=1}^n \left( r_{pj} -r_f - \alpha_p - \beta_p (r_{mj} -r_f ) \right) $$ 對於一般線性模型， $ y = \alpha + \beta x $ ，解決方案（估計器）是已知的（例如參見此處）： $$ \begin{align} \tag{}\label{} \hat\beta = \frac{ \sum\limits_{j=1}^{N} (x_{j}-\bar{x})(y_{j}-\bar{y}) }{ \sum\limits_{j=1}^{N} (x_{j}-\bar{x})^2 } \end{align} $$ 在哪裡 $ \bar{} $ 是樣本均值，例如（替換 summation dummy 以避免名稱衝突）： $$ \bar{x}=\frac{1}{N}\sum_h^N x_h $$ 代替 $ \eqref{**} $ 我們的超額回報，相對於 $ i $ -th 共享 beta，我們得到： $$ \begin{align} \hat\beta_i &= \frac{ \sum\limits_{j=1}^{N} \left( r_{mj} -r_f - \frac{1}{N}\sum\limits_h^N (r_{mh} -r_f) \right) \left( r_{ij} -r_f - \frac{1}{N}\sum\limits_h^N (r_{ih} -r_f) \right) } { \sum\limits_{j=1}^{N} \left( r_{mj} -r_f -\frac{1}{N}\sum\limits_h^N (r_{mh} -r_f) \right)^2 } \notag\ &=\frac{ \sum\limits_{j=1}^{N} \left( r_{mj} - \frac{1}{N}\sum\limits_h^N r_{mh} \right) \left( r_{ij} - \frac{1}{N}\sum\limits_h^N r_{ih} \right) } { \sum\limits_{j=1}^{N} \left( r_{mj} -\frac{1}{N}\sum\limits_h^N r_{mh} \right)^2 } \notag \end{align} $$ 至於投資組合 beta，我們有： $$ \begin{align} \hat\beta_p &=\frac{ \sum\limits_{j=1}^{N} \left( r_{mj} - \frac{1}{N}\sum\limits_h^N r_{mh} \right) \left( r_{pj} - \frac{1}{N}\sum\limits_h^N r_{ph} \right) } { \sum\limits_{j=1}^{N} \left( r_{mj} -\frac{1}{N}\sum\limits_h^N r_{mh} \right)^2 } \notag \end{align} $$ 將投資組合收益定義從 $ \eqref{} $ ， 我們獲得： $$ \begin{align} \hat\beta_p &=\frac{ \sum\limits_{j=1}^{N} \left( r_{mj} - \frac{1}{N}\sum\limits_h^N r_{mh} \right) \left( \frac{1}{n}\sum\limits_i^n r_{ij} -\frac{1}{N}\sum\limits_h^N \frac{1}{n}\sum\limits_i^n r_{ih} \right) } { \sum\limits_{j=1}^{N} \left( r_{mj} -\frac{1}{N}\sum\limits_h^N r_{mh} \right)^2 } \notag\ &=\frac{ \sum\limits_{j=1}^{N} \left( r_{mj} - \frac{1}{N}\sum\limits_h^N r_{mh} \right) \frac{1}{n}\sum\limits_i^n \left( r_{ij} -\frac{1}{N}\sum\limits_h^N r_{ih} \right) } { \sum\limits_{j=1}^{N} \left( r_{mj} -\frac{1}{N}\sum\limits_h^N r_{mh} \right)^2 } \notag\ &= \frac{1}{n}\sum\limits_i^n \frac{ \sum\limits_{j=1}^{N} \left( r_{mj} - \frac{1}{N}\sum\limits_h^N r_{mh} \right) \left( r_{ij} -\frac{1}{N}\sum\limits_h^N r_{ih} \right) } { \sum\limits_{j=1}^{N} \left( r_{mj} -\frac{1}{N}\sum\limits_h^N r_{mh} \right)^2 } = \frac{1}{n}\sum\limits_i^n \hat\beta_i \notag \end{align} $$ 至於 alpha 一般估計量，這是：
$$ \hat\alpha = \bar{y} - \hat\beta,\bar{x} $$ 所以： $$ \hat\alpha_i = \frac{1}{N}\sum\limits_h^N (r_{ih} -r_f) - \hat\beta_i,\frac{1}{N}\sum\limits_h^N (r_{mh} -r_f) $$ 和 $$ \hat\alpha_p = \frac{1}{N}\sum\limits_h^N (r_{ph} -r_f) - \hat\beta_p, \frac{1}{N}\sum\limits_h^N (r_{mh} -r_f) $$ 將投資組合收益定義從 $ \eqref{*} $ : $$ \begin{align} \hat\alpha_p &= \frac{1}{N}\sum\limits_h^N \left(\frac{1}{n}\sum\limits_i^n r_{ih} -r_f\right)
- \frac{1}{n}\sum\limits_i^n \hat\beta_i \frac{1}{N}\sum\limits_h^N (r_{mh} -r_f) \notag\ &= \frac{1}{N}\sum\limits_h^N \frac{1}{n}\sum\limits_i^n \left( r_{ih} -r_f\right)
- \frac{1}{n}\sum\limits_i^n \hat\beta_i \frac{1}{N}\sum\limits_h^N (r_{mh} -r_f) \notag\ &= \frac{1}{n}\sum\limits_i^n \left( \frac{1}{N}\sum\limits_h^N ( r_{ih} -r_f )
- \hat\beta_i \frac{1}{N}\sum\limits_h^N (r_{mh} -r_f)\right) = \frac{1}{n}\sum\limits_i^n \hat\alpha_i \notag \end{align} $$ 這只是為了讓您對問題有一個大致的了解。