不同資產籃子之間的相關性
努力尋找以下問題的答案 - 假設您有 $ N $ 不同的資產，以及所有的配對相關係數 $ \rho_{ij} $ 他們之間是眾所周知的。如果您現在從所述資產（其中資產的任何子集）形成兩個算術籃子，是否有一種簡單的方法可以判斷這兩個籃子如何相關？
請注意，我把 $ arithmetic $ 斜體，因為這意味著可能不會有分析結果。算術情況沒有好的答案，幾何情況有簡單的結果嗎？
僅從相關性和共變異數的角度來看 RV 的基本屬性：
假設有 4 個資產； $ A,B,C,D $ 和 $ \rho_{X,Y} $ 已知 $ \forall X,Y \in {A,B,C,D} $ .
讓， $ U=A+B $ ， 和 $ V=C+D $ .
然後 $ \rho_{U,V} = \frac{Cov(U,V)}{\sigma_U \sigma_V} $ ,
在哪裡 $ Cov(U,V) = Cov(A+B, C+D)= Cov(A,C) + Cov(A,D) + Cov(B,C) + Cov(B,D) $ ,
在哪裡 $ Cov(X, Y) = \rho_{X,Y} \sigma_X \sigma_Y $ .
和 $ \sigma_U = \sqrt{Var(U)} = \sqrt{\sigma_A^2 + \sigma_B^2 + 2 \sigma_A \sigma_B \rho_{AB}} $
這歸結為：
$$ \rho_{U,V} = \frac{ \rho_{A,C} \sigma_A \sigma_C + \rho_{A,D} \sigma_A \sigma_D + + \rho_{B,C} \sigma_B \sigma_C + \rho_{B,D} \sigma_B \sigma_D } { \sqrt{\sigma_A^2 + \sigma_B^2 + 2 \sigma_A \sigma_B \rho_{AB}} \sqrt{\sigma_C^2 + \sigma_D^2 + 2 \sigma_C \sigma_D \rho_{CD}}} $$
我認為有點直覺的是，如果說資產 A 和資產 C 的標準偏差比資產 B 和 D 大得多，那麼 U 和 V 的結果應該收斂到與 A 和 C 相同的相關性。確實，下面的公式是由具有較大波動性的條款主導，所以總的來說，我會說除非你知道哪些資產（哪些資產組合）占主導地位，否則你無法判斷你的籃子的相關性。