投資組合偏度和投資組合峰度的推導
我在哪裡可以找到投資組合偏度和峰度公式的推導？我到處都可以找到公式，但找不到它們的推導？
例如，投資組合變異數公式， $ \sigma_P = w^\top \Sigma w $ 眾所周知，在哪裡 $ \Sigma $ 是共變異數矩陣，我可以在很多書中找到該公式的推導，但我在以下公式中找不到任何東西：
- 投資組合偏度， $ s_P = w^\top M_3 (w\otimes w) $ ， 和
- 組合性耳聾， $ k_P = w^\top M_4 (w\otimes w\otimes w) $ ,
在哪裡 $ M_3 $ 是協偏度矩陣和 $ M_4 $ 是協峰度矩陣。
他們只是被賦予了他們的本來面目。我在機率論方面不夠強大，無法使用它從期望運算元中推導出公式。誰是第一個推導出它們的人？它們最初是在哪裡出版的？
你開始的數據基礎是什麼？如果您只有共變異數矩陣，那麼您只能通過以下方式計算投資組合變異數或波動率
$$ w^T \Sigma w $$在哪裡 $ w $ 是投資組合權重和 $ \Sigma $ 是共變異數矩陣。如果您擁有單項資產連續複利 $ r^j_t $ 在哪裡 $ j $ 指數資產， $ j=1,\ldots,N $ ， 和 $ t $ 代表時間， $ t=1,\ldots,T $ ，那麼你也可以計算每個時間點的投資組合收益$$ r_t = \sum_{j=1}^N w_j r^j_t $$然後將標準變異數估計量應用於 $ (r_t){t=1}^T $ . 回到你的問題，有 $ (r_t){t=1}^T $ 您可以計算此樣本的偏度和峰度。你可以在維基百科上找到公式。
這裡的關鍵是找到 $ - $ 對於我們在金融領域的應用 $ - $ , Kronecker 乘積符號是 1) 一種縮短符號的方法和 2) 在數學工具箱中很好地表示的函式，例如
Matlab或R。假設有 $ N=3 $ 隨機返回 ( $ x_1,x_2,x_3 $ ) 和一些權重向量 $ w $ 維度的 $ N\times 1 $ . 具有典型入口的預期收益向量 $ E(x_i) $ 有維度 $ \mu $ 是 $ N\times1 $ ， 和 $ \mu^T\times w $ 是一個標量 ( $ 1\times1 $ ）。共變異數矩陣 $ \Sigma $ 典型的入口 $ E((x_i-\mu_i)(x_j-\mu_j)) $ 有維度 $ N\times N $ ， 和 $ w^T\times \Sigma \times w $ 又是一個標量（ $ 1\times1 $ ）。共偏度張量 $ M_3 $ 典型的入口 $ E((x_i-\mu_i)(x_j-\mu_j)(x_k-\mu_k)) $ 有維度 $ N\times N\times N $ ， 然後再次 $ w^TM_3\left(w\otimes w\right) $ 是 $ 1\times 1 $ . 同樣的情況也適用於峰態 $ M_4 $ 大小的 $ N\times N\times N \times N $ .
實際上，每個統計數據只是一個 $ K $ 維對象，具有 $ K=1,2,3,4 $ …
現在問題是：“如何計算投資組合偏度？” （或峰度）
假設您的共偏度矩陣 $ M_3 $ 儲存為一個三維數組。您現在正確乘以 3d 數組 ( $ N \times N \times N $ ) 與 $ N\times 1 $ 投資組合權重向量 $ w $ $ - $ :**結果是 $ N\times N $ 矩陣！**下一步是典型的左/右乘法 $ w^T $ 和 $ w $ etvoilà：你有一個標量。
算法（用於偏度）是：
- 建立你的 $ 3 $ 維偏度張量 $ M_3 $ 具有上述典型元素
- 對於每個條目 $ i $ 在最後一個維度，計算 $ q_i=w^TM_3(.,.,i)w $ . 這產生了一個 $ N\times 1 $ 矢量（通過構造）。最後， $ w^Tq $ 為您提供投資組合偏度。
相同的方法適用於投資組合峰態，即將 4d 數組減少到 3d 到 2d 到 1d 到標量。
HTH？