衡量回報
總是遇到哪個返回使用的問題。我知道三種類型。簡單回報、對數回報和幾何回報。
現在我想知道它是否取決於返回使用的主題。例如，要計算投資組合的平均每日回報，然後將平均每日回報取消，這應該沒有什麼區別，因為對於小回報，對數回報大約等於簡單回報。
但是，在某些日子裡，您的回報率更高，例如 5% 或更多，這是 4.88% 的對數回報率，這是一個顯著的差異。那麼如果該系列的日收益率為 5%，那麼使用對數收益率是否仍然合法？這裡的問題是對數回報低估了正回報，但正確地估計了平均回報。例如。假設一隻股票的價格從 100 漲到 105 再回到 100。整個期間的回報是 0%。然而，averafe 的簡單回報不是 0%。幾何和對數收益率為 0%，我認為這是正確的。
所以在年化每日回報時，我總是得到比預期更高的回報。
那麼在上報年化收益時，是否應該通過exp()函式將平均收益重新轉換為簡單收益呢？當我這樣做時，我還可以使用 exp() 轉換回標準差嗎？
然後我對以下問題沒有任何好的解決方案：我想創建一個投資組合併每天衡量回報。我的方法是取 2 隻股票的對數回報，每隻股票的權重為 50%，然後每天總結。然後我計算一段時間內的平均值和標準差。直覺上，在投資組合中加起來轉換後的回報感覺是錯誤的。我這樣做是因為我知道如何為投資組合創造適當的回報。
也許有人可以幫助我。
您不必過多考慮返回公式並感到困惑，只需了解基礎知識即可。回報很簡單：
$$ Return = Ending Value / StartingValue - 1 $$
對數返回用於在以對數格式定義返回時提供模型簡單性的地方。同樣，當對對數正態性而不是正態性進行假設時。對數收益被推廣用於與衍生建模相關的模型。
$ log(1+r) \approx r $ 當 $ r $ 小，通常是這樣，但考慮到月收益的情況，最近在 2018 年 12 月，標準普爾下跌了 9%。現在 $ r $ 不再小了。
如果你計算 S&P TRI 從 2000 年到今天的對數回報，它會低估累計回報 5% 以上！
至於標準偏差，除非您在非常短的時間內測量標準偏差，否則理想情況下應該沒那麼重要。
至於投資組合回報，最佳實踐是將每日投資組合價值計算為股票價值的加權平均值，然後計算投資組合系列本身的回報。
堅持基礎。
由於上面的討論還沒有結束，我將展示我的假設的摘要。如果您不同意，請告訴我您不同意的具體地方。
- 回報
i) 1 年期的簡單年度回報為： $$ r_{1989}=value_{1989}/value_{1988}-1 $$ 為了 $$ value_{1988}=100, value_{1989}=110, value_{1990}=100 $$ 我們得到 $$ r_{1989}=10%, r_{1990}=-9,1% $$
ii) 2 年期的簡單年回報率是 $$ r^2_{1990}=value_{1990}/value_{1988}-1=0% $$
iii) 收益樣本的平均值是 $$ r_{mean}=(r_{1989}+r_{1990})/2 = 0.45% $$
iv）為了計算最終值，我們使用平均值並將其乘以周期數（在這種情況下為 2） $$ endvalue = (r_{mean}+1)^2*startvalue=100.09 $$
但這不是我們的最終價值。我們可以很容易地用這種方法來計算每日收益，計算每日收益的平均值並將它們年化。如果需要獲得該 2 年期間的最終值，我們可以採用每日返回的數字。然而，要獲得真正的年化價值，我們只需取每日回報的平均值並將其取一年的冪（年化）。然而，這個過程仍然會高估真實的最終價值。正如我上面所展示的，它會大大高估最終價值。
v) 1 年期的對數回報計算如下： $$ logr_{1989}ln(value_{1989}/value_{1988}) $$
為期兩年
$$ logr_{1990}=ln(value_{1990}/value_{1988}) = ln(value_{1989}/value_{1988})+ln(value_{1990}/value_{1989}) $$
和平均值
$$ logr_{mean} = logr_{1990}/2 $$
在這個例子中你得到
$$ logr_{mean}=(0.95-0.95)=0% $$
這是那個時期的真正回報。
要從年平均值乘以期數（在本例中為 2）得到最終值
$$ endvalue=(1+0%*2)*startvalue=100 $$
現在我們看到 log 方法導致了正確的 endvalue。然而，對於一個非常具體的一年期，簡單的回報是最正確的回報。對於大於 1 的時期，要獲得年回報，您不能將簡單的每日回報進行年化，因為高估的程度太差了。如果你能證明我錯了，我很高興知道。然而，隨著樣本量的增加，每日對數回報的年均值會稍微低估真實回報
vi) 要從兩個時期的案例中獲得平均回報年度回報，請執行以下操作：
$$ r_{geometric\ mean}=(value_{1990}/value_{1988})^{(1/2)}-1=(100/100)^{1/2}-1=0% $$
2）標準差（一年）
標準偏差是平均值周圍的平均偏差。意思是關鍵詞：圍繞哪個意思？通常圍繞算術，而不是幾何平均值。但是如果你有一個幾何標準偏差的公式，你可以給我看。
現在，我已經證明，當獲取每日回報並將其年化時，簡單回報的平均值會導致非常不正確的年回報。同樣，如果您使用非常具體的一年期限，則簡單回報是最正確的選擇。如果您有多個時期並且仍然想要平均年度標準差，那麼您比較的平均回報將是來自 vi) 的幾何平均值或來自 v) 的對數回報。因為標準偏差是算術平均值的平均偏差（樣本（=此處：每日回報）），並且由於簡單的每日回報是錯誤的，我只看到了一個回報：那就是日誌回報。同一句話的意思是：“幾何平均值是 10%，每日對數回報的標準差是 9%（而標準差是圍繞其平均值的平均偏差（對數回報的平均值和不是幾何平均值））”當我們報告使用不同方法計算的尖銳比率或風險價值等指標時，情況會變得更糟。現在，您可以肯定地使用簡單每日收益的標準差，但您還應該報告每日收益的年均值。如果您不相信我，請自己嘗試一下：
- 報告
這就是我最初的文章想要問的問題：重要的不是回報本身，而是我們使用它的目的是什麼？對於回歸、t 統計量、年化、夏普比率等關鍵指標等統計目的，對數回報對我來說似乎是有利的。對於銷售，我肯定會使用簡單的回報。
最後的評論
作為一個試圖優化其業績的私人投資者，我正在嘗試採用謹慎的方法來低估回報而高估風險。因為，如果出現問題，我仍然會有一個坐墊。如果沒有任何問題，我可以很高興地獲得比我預期的更多的回報。我已經證明，簡單回報不僅是錯誤的，而且甚至比對數回報更錯誤，尤其是當您考慮由過高的期望或錯誤的風險回報組合引起的錯誤決策風險時。如果您不認為簡單返回比 logreturn 更錯誤，我完全願意聽取其他意見，但我想有一些證據證明這一點。